指数函数和对数函数单元教学设计  

苟文利

一．教学分析

教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图像的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。

 在学习北师大版必修一第二章《函数》后，学生对函数的概念及性质有了比较深入的认识，而本章的学习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数内涵，再次体会研究函数的一般思想方法。理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用，进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，增强学生数学应用意识。

二．课标解读

1.课标要求

（1）总体要求：

        学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

（2）具体要求：

l.了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义；

2.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a^x的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像, 探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型；

3.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数 , 了解对数的简化运算的作用；

4.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log_ax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;

5.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);

6.知道指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax互为反函数(a＞0,a≠1),初步了解反函数的概念和f^－1(x)的意义.

2. 课标解读

（1）削弱的内容

     关于反函数只需知道指数函数与对数函数互为反函数，暂不要求理解、求解和应用，将复合函数的概念放到“导数及应用”的相关内容中。

（2）指数函数与对数函数处理上的变化

     突出指数函数与对数函数这两个现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值。这一变化同样是为了使数学学习不仅是对知识的学习、理解和掌握，更要体现以知识为载体育人的价值，使学生更好地认识数学，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的应用价值等。

三．重点分析

本章的重点有三个：

1. 指数函数与对数函数的概念；

2. 指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质；

3. 函数增长快慢的比较。

四．教学建议

1. 继续发展学生对变量数学的认识。使学生进一步认识到，在充满变化的现实世界中，有一类反映运动变化的数量关系，它们都直接与指数函数、对数函数相联系。例如，国民经济增长、人口增加、细胞分裂、放射性物质的衰变等。

2. 使学生经历幂指数由整数逐步扩充到实数及由指数得到对数的过程。

3. 指数函数和对数函数是高中阶段最重要的两个函数模型，必须让学生掌握包括定义域与值域、特殊点、单调性及增长速度等基础知识和研究函数的基本方法。

4.由于对数增长、多项式增长、指数增长是刻画增长的最基本的模式，因而教学中要通过具体函数，让学生利用计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

   本章教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考):

§1	正整数指数函数	1课时
§2	指数扩充及其运算性质	2课时
§3	指数函数	3课时
§4	对数	3课时
§5	对数函数	3课时
§6	指数函数、幂函数、对数函数增长的比较	1课时
	本章小结	1课时

 

五．部分教学设计

1．对数的概念

【教学目标】

1. 知识与技能

（1）理解对数的定义: 这一符号的含义，字母 的取值范围；

（2）理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；

（3）根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式 ；

（4）理解常用对数的概念；

2．过程与方法

     通过与指数式的比较，引入对数的概念，进而研究它的性质。

3．情感、态度、价值观

     通过对数式与指数式的转换，培养学生分析、归纳能力，在学习过程中培养学生的探究意识。

【教学重难点】

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化

难点：对数的概念及性质的理解

【教学过程】

一．支架引导

1.锚式问题

 由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第 次后，细胞的个数 ；

如果知道细胞分裂若干次后的个数为 ，如何求出分裂次数 ；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；

2.先行组织者：

      类比、对比、归纳、总结

二．梯次探究

指导探究

链式问题1：对数的概念

    如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，就是a^b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log_aN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

 

链式问题2：指数式a^b＝N与对数式log_aN＝b的关系？

 

 

	式子	名称
				N
指数式		底数	指数	幂值
对数式		底数	对数	真数

 

 

 

 

探究：

（1）在对数定义中，为什么也要限定a＞0且a≠1?

 因为对数概念源出于指数，对数式log_aN＝b是由指数式a^b＝N转化而来，对数的底数就是指数的底数，而a^b＝N中要使它对任意实数b都有意义，必须a＞0且a≠1，所以对数式中也必须要求a＞0且a≠1．

（2）1的对数等于多少，log_aa ( a＞0且a≠1 )的对数等于多少，零和负数有没有对数？

当a＞0且a≠1时，a⁰＝1，即a的零次幂为1，所以0就是以a为底1的对数；a¹＝a，即a的1次幂为a，所以1就是以a为底a的对数；在a^b＝N中，对任意实数b，都有a^b＞0，即N＞0，所以不存在实数b，使a^b≤0，即零和负数是没有对数的．

 

链式问题3：

     对数的性质

 若a＞0且a≠1

（1）log_a1=0；

（2）log_aa=1；

（3）零和负数没有对数，即真数N＞0；

（4）对数恒等式 ，log_aa^N=N。

 

链式问题4：

常用对数和自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log₁₀N可简记为lgN；

以e为底的对数叫做自然对数， log_eN简记为lnN．

三．应用质疑

1. 典例分析

例1.将下列指数式写成对数式：

（1）5⁴=625;         （2）3^-3=1/27；       （3）8^4/3=16；       （4）5^a =15.

例2.将下列对数式写成指数式：

（1）    log_1/216= —4；（2）log₃243=5; （3）log₃27=3; （4）lg0.1=—1.

例3.求下列各式的值：

（1）    log₅25；（2）log_1/232; （3）3^log₃¹⁰; （4）ln1；（5）log₇7.

2. 练习

练习1~3

3. 作业

      习题3—4，A组每1，2题

四．课外延伸

对数的发明者：布尔基与耐普尔

数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst Bürgi，1552－1632）．

布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价．

 

2.对数函数概念、图像及性质

【教学目标】

1.知识与技能

（1）掌握对数函数的概念。

（2）根据对数函数图象探索并理解对数函数的性质。

2.过程与方法：

    （1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。

（2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系。

3.情感态度与价值观：

（1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。

（2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质，调动学生学习数学的积极性。

【教学重难点】

重点：对数函数的定义、图像、性质

难点：对数函数与指数函数的关系

【教学过程】

一、支架引导

1.锚式问题：

     某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 是分裂次数 的函数，这个函数可以用指数函数 = 表示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数 根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是 。

2.先行组织者：

方法性组织者：类比、对比、猜想、归纳、总结

二．梯次探究

指导研究

1.链式问题1：对数函数的概念

我们在 = 与 这两个式子中，对数式 可由指数式 = 得到，像这样，对于任意的一个y∈(0,+∞),通过，x∈R中都有唯一确定的值和他对应，即可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说是函数 = 的反函数。如果用 表示自变量，表示函数，这个函数就是 。对数函数 与指数函数 互为反函数。

    一般地，我们把函数叫做对数函数。我们知道指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）。由反函数的定义我们可以推出对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）。而底数a与指数函数中的a是相同的，所以限制条件也同为a>0，a≠1

注意：

① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ，

 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

②对数函数对底数的限制：

2．链式问题2.

对数函数的图像

在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：

（1）① ；          ② ；

做图步骤：列表、描点、用平滑曲线连结起来

	……			1	2	4	……
	……			0	1	2	……
	……	2	1	0			……

x

y

(1,0)

O

学生练习：

（2）③            ④

思考：这些函数的图象有什么关系？

类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 轴对称，得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称

同理我们也可以画出底数为 ……等等的对数函数图象，我们不难发现如下共同特征：

3.链式问题3：

类比指数函数图象和性质，研究对数函数图象和性质

 

	a>1	0<<I>a<1
图   象
定义域：
值域： R
性   质	(1)过定点：（1，0）即 时，
	(2)单调性：在 上是增函数	在 上是减函数
	(3)最值：没有最值
	(4)奇偶性：不具有奇偶性
与 的对应关系	当 时， 当 时，	当 时， 当 时，

 

三．运用质疑

1.典例分析

 例1.求下列函数的定义域

     (1) y=log_a(2x-3)   (2) y=log_a(9-x²)

分析：

首先我们观察这两个函数，都是限制了真数，那我们就可以由对数的真数大于0得出定义域

     注意对数中真数和底数的限制

例2.利用对数函数单调性比较下列各组数的大小

  (1) log_a 5.1,   log_a5.9   (2) log₆7,   log₇6

分析：

我们先看第一题，这两个对数的底数都是a,那我们对a的大小进行讨论就可以比较出两个数的大小了。再看第二题  两个对数的底数与真数都不相同，那我们就只能与特殊值比较了，很明显，第一个数log₆7>log₆6>1，第二个数log₇677<1。

2.练习：课本91页练习2，3，4题

3.作业：习题3—5 A组1，2，3题

4.小结

本节课主要学习了以下内容：对数函数的概念、图像和性质。

（1）函数定义域的求法；

（2）会比较两对数的大小。

    （一）同底数比较大小时

          1、当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断。

          2、当底数不确定时，应对底数进行分类讨论

    （二）同真数的比较大小, 常借助函数图象进行比较

    （三）若底数、真数都不相同,  则常借助1、0等中间量进行比较

四．课外延伸

比较底数与真数均不相同的两个对数的大小时，应借助中间量，比如log₂3与log_0.52比较大小，log₂3大于0，log₂3小于0，借助中间量0发现log₂3>log_0.52。