史宁中《几何直观与小学数学教学》报告整理

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框架：

一、直观与几何直观

二、小学“图形与几何”中的几何直观

三、小学“数与代数”中的几何直观

 

摘录：

一、直观与几何直观

康德《纯粹理性批判》中说：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。”     希尔伯特——胡塞尔

人是如何得以认知的？

论教育的本源，《教育研究》2009.09

教育应当充分彰显人与动物最大的区别。——生理（容量扩充的大脑、完善的发音器官）、表现（制造工具、语言表达）、思维（想象力、抽象力）

直观：想象力、抽象力（早期教育）

在本质上，数学的结论是看出来的，而不是证出来的。会看就是数学直观。

会看不是老师教出来的，而是学生悟出来的，是思维经验的积累。

 

关于直观地理解

哲学中的定义：

直观是指，通过对客观事物的直接接触而获得感性认识的一种方式。（关注的是人如何能够认识事物）

我的定义

直观是指，通过对客观事物的直接接触而认识事物的一种方式。（关注的是人如何认识事物。）

通过长时间的、合理的认识事物的过程，可以逐渐形成一种思维方式，因此，就教育而言，可以把直观分为感性直观和理性直观两个层次。

 

感性直观是指，接触到客观事物，基于生活经验直接通过联想、类比、分类等，对客观事物加你相应的知识。（运用知觉、感性认识）

康德：感性受外部对象的刺激并做出适当的反应而产生的表象就是感性直观，不仅有感觉经验，还有知觉判断、进而形成知识。

理性直观是指，遇到问题，能够跨越长时间的理性思考和逻辑分析过程，基于思维经验直接认识问题，包括理解问题的本质、解决问题的思路、推断问题的结论。（运用概念、理性认识）

 

《课程 教材 教法》2017年第4期   “史宁中教授访谈七”的结尾

无论进行怎样的课程改革，如果用一句话描述数学教育的根本，那就是培养学生的数学直观，因为数学的结论是“看”出来的，不是“证”出来的，“看”依赖的就是数学直观，这是“三会”（会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界）的现实表现，数学直观是一个人长期进行数学思维形成的，是逐渐养成的一种思维习惯，这个思维习惯日积月累就形成了数学素养，在这个意义上，所有的学科都应当把培养学科的直观作为这个学科的终极培养目标。

数学直观：几何直观、代数直观、统计直观

 

如何理解几何直观？

希尔伯特：

算术符号是文字化的图形，而几何图形是图像化的公式：没有一个数学家缺少这些图像化的公式，正如在数学演算中他们不能不使用加、脱括号的操作或其他的分析符号一样。

回顾定义：理解问题的本质、解决问题的思路、推断问题的结论

几何直观：利用图形、图形关系；图形的变化、运动的轨迹

代数直观：利用数字、数字的关系；代数式、代数式关系、代数式的变换

统计直观：利用数据、数据的关系；数据产生的背景、随机模型

 

几何直观是指，通过图形、图形的关系、图形的变化、运动轨迹等，直接理解问题的本质、得到解决问题的思路、形成推断问题的结论。

这里所说的问题不仅是数学问题，也包括生活问题和科学问题。

 

二、图形与几何中的几何直观

要用几何直观讲授几何，引导学生逐渐形成几何直观。

感性直观：点线面角；用符号或者举例对研究对象赋予称谓。

理性直观：性质、关系、规律；形成概念；启发思路；推断结论。

 

如何理解平移、旋转、轴对称？

本质：图形中任意两点间距离保持不变（不变量）。刚体变换=全等。

如何理解平行线？

如何认识对称图形？

 

几何直观与空间观念的共性与区别

时间和空间是人们认识世界的基本前提。

通过时间，感知事物的发展过程，分辨事物的顺序。

通过空间，感知事物的位置关系，分辨事物的差异。

理解空间的三个要点：

空间是三维的，0维为点，1维为线，2维为面，3维为体。

只有在高维空间才能认识低维空间，直线（北京到纽约）、平面；

可以通过类比想象更高维空间（空间想象力）

 

三、数与代数的几何直观

认识数

用对应的方法、举例说明得到数学概念（性质、关系）

用对应的方法、举例说明（创设情境）得到概念之间的关系

感悟数的本质：大小关系，四个比三个多，4比3大

认识加法

教材用内涵的方法：

还可以用对应的方法：

感悟等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。

 

如何理解数轴？

通过对应的方法理解负数。

三岐性定理

认识自然数、负数

建立代数运算的直观

 

2017年11月28日晚于家中整理完毕