这里有几个特殊的点。

首先是原点，这是控制开始的地方。这是速度是正的，但是加速度是负的。位移在增加。

第二个点是201处，这就是书中的时间轴的“2”处，在此位移获得最大值，而不是书中图显示的在2+2^1/2处，同时速度为0。过此点后，速度为负，加速度保持为负，位移加速减小。

第三点是2+2^1/2处，在此处速度获得负的极大值，加速度由负转正，位移继续减小。此处速度连续而加速度不连续，“砰”地一下变了。

在2+2*2^1/2处，速度、加速度均为零。控制完成。

下面说说如何理解这道题和这个图。这只是一个用最常见的简单系统演示如何使用变分法求最优控制的例子。但是如果要控制的系统就是这样简单的二阶系统，其实也不必进一步了解变分法，直接掌握这个例子就好了。

这个例子很简单，从原点出发，回到原点，但是初始速度不为零。其实很容易推广到从某一点出发，到达某一点，在终点要求速度为零。可以有一个初始速度。

如果初始速度与到达目标方向相反，简单，减速运动即可，给一个指向终点的加速度。

关键点是速度为零的时刻。在此时刻要记录一下目前到终点的距离，在这一段距离上，前一般用最大力气匀加速，后一半用最大力气匀减速，可以保证到达终点的时刻速度刚好为零。

这就是这样的系统的最速控制，例题的计算其实就是这么回事。

初始速度为零的情况，只不过没有把速度降到零的阶段而已。

如果初始速度就是朝向终点的呢？也好办。算一下从零加速到当前速度跑了多远，加到当前距离上，算一下中点在那里，在此中点转换匀加速为匀减速即可。

《工程控制论》上册，246页，“A型最优控制函数每个分量的开关次数和B型每一分量的变号次数，一般说来，与初始条件和函数φ(t)的变化规律有关。但是如果受控对象运动方程式内的矩阵A的所有特征根均是实数，这时它们的变号次数可以确定下来。确切的答案是变号次数不大于n-1，而且，对几乎所有的初始条件变号次数都等于-1。” 

对于前面的二阶系统，n=2，因此对于几乎所有的初始条件变号次数都等于1。即当且仅当，初始速度在匀减速的时候恰好在到达终点的时候变为零，此时不需要变号。否则一定变号。这种情况与所有可能发生的情况相比为无穷小，因此可以说“几乎没有”，虽然实际上还是有的。

《现代控制理论》310页的例7.6.2是有弹性无阻尼的系统。从这个例子可以看出有弹性的系统的最速控制要有几次震荡。

它的矩阵是[0，1；-1，0]，特征值是i和-i，使两个虚数，所以不符合工程控制论中说的有确定的数目。

磁悬浮系统的矩阵A的特征值是有虚数的，会有振荡，比简单的二阶系统复杂。

关于例7.6.2的振荡，如何理解？这个例子的刚度1，也就是在位置为1的时候，把系统拉回原点的力为1，与控制能够给出的力相等。现在，要让系统到达位置2，如何能够？这就好像荡秋千一样，让系统荡起来，才能到达大于1的位置。当然，在这样的位置是不可能待住的。

但是，能够到达要求的位置，就比到达不了的情况要“快”。而最速控制就是找到所有能够到达的控制中最快的。

由于线性系统是可逆的，能够到达要求位置的最速控制，把控制倒过来，也就是从这个位置返回原点的最速控制。

看这个例子的最终的开关曲线，图7.6.8，这无数等半径的小半圆，如何在程序中实现呢？

其实不必要求太高，可以有近似的办法。我们看最优控制的开关时刻，其实离速度变量正负变换的时刻很接近，几乎可以简单地把控制的符号对速度的符号取反即可。这样，实际上控制起到的作用就是阻尼。这无非就是有阻尼的系统最终会稳定在原点而已。