分母，我们可以证明

分母 = sinx/cosx-sinx =sinx(1/cosx-1)
=sinx(1-cosx)/cosx
分母是等价于 x³/2的

对分子我们做等价变形

分子 = (tan(tanx)-tanx) +(tanx -sinx) +(sinx -sin(sinx))

令 p1 =  lim (tan(tanx)-tanx)/(tanx -sinx)
lim (tan(tanx)-tanx)/(x³/2）
再令 f(x)=tanx,
则p1的分子是 f(tanx)-f(x)=f'(c)(tanx -x)(这里用了中值定理，c在x与tanx之间)
所以有 当 x→0时,c→0，f'(c)=sec²c→1

所以p1 = lim (tanx-x)/ (x³/2)<用洛毕塔>
=2/3

p2 = lim (tanx -sinx)/(tanx - sinx)=1

p3 = (sinx -sin(sinx))/(tanx-sinx)
=(sinx -sin(sinx))/(x³/2)
还是用p1的计算方法
得到p3= 1/3


所以原式=p1+p2+p3 =2

tanx=x+x^3/3+2x^5/15+O(x^6)=T+O(x^6),
tanT=T+T^3/3+2T^5/15+O(T^6)=x+2x^3/3+3x^5/5+O(x^6);
sinx=x-x^3/6+x^5/120+O(x^6)=S+O(x^6),
sinS=S-S^3/6+S^5/120+O(S^6)=x-x^3/3+x^5/10+O(x^6).
则
lim[tan(tanx)-sin(sinx)]/x^3，x->0
=lim[(x+2x^3/3+3x^5/5)-(x-x^3/3+x^5/10)]/x^3，x->0
=lim(x^3+x^5/2)/x^3，x->0
=1.