因数分解

关于“因数分解”，我们来讲两种不同的情形，首先我们通过一个例子来讲述第一种情形：

【例1】7、14、28、77、189（    ）

A.285           B.312           C.392           D.403

【解析】本题可以通过“三级等差数列” 的做法直接得到答案为C。

原 数 列：7、   14、   28、   77、   189  （392）

做一次差：    7、   14、  49、   112   （ 203 ）

再 做 差：        7、   35、   63、  （91）                   （等差数列）

与此同时，我们很容易发现题干当中的五个已知数字都是7的倍数，如果我们把这几个数的7因子去掉，然后再进行做差，就可以得到下面的结果：

原 数 列：1、    2、    4、   11、   27   （56）

做一次差：    1、   2、    7、    16   （ 29 ）

再 做 差：        1、    5、    9、  （13）                   （等差数列）

因此答案为：56×7＝392，仍然选择C。

【总结】很多考生会认为上述两种方法并没有质的区别（事实上也确实没有），甚至会认为第一种方法更直接、更简单。然而在考场上，第二种方法通过滤过“7因子”，大大的简化了计算，大家不要小看这一点，对于很多考生来说，计算的复杂性往往是“致命”的。当然，如果时间真的不够用了，当你发现题干当中的数字全部是7的倍数，而选项当中只有392是7的倍数，那你大胆的猜C也未尝不是一个最佳的选择。

 

关于“因数分解”，上面这种情形是非常简单并且容易理解的，本质上来说只是稍微简化了计算，但是下面介绍的这种“因数分解”却给考生提供了另外一种解题的可能性。我们下面再看三个例题，这三个例题既可以通过直接做差得到答案（即所谓“多级数列”），也可以通过分解成2~3个“子数列”来得到答案。分解成“子数列”之后，原数列的第N项即为各个子数列第N项的乘积。这种说法比较抽象，我们还是来看具体的例子吧：

 

【例2】（国2002A-1）2、6、12、20、30、（    ）

A.38            B.42            C.48            D.56

【答案】B

【解一】原 数 列：2、   6、   12、   20、   30、  （ 42  ）

做一次差：    4、    6、    8、    10、 （ 12 ） （等差数列）

【解二】原 数 列：2、6、12、20、30、（ 42 ）

        子数列一：1、2、 3、 4、 5、（  6 ）         （等差数列）

        子数列二：2、3、 4、 5、 6、（  7 ）         （等差数列）

 

【例3】（北京社招2005-5、广东2005上-3）0、6、24、60、120、（    ）

A.186           B.210           C.220           D.226

【答案】B

【解一】原 数 列：0、    6、   24、   60、   120、 （ 210 ）

做一次差：    6、    18、   36、   60、 （ 90 ）

再 做 差：        12、  18、   24、  （30）   （等差数列）

【注释】上述解法可以在“滤过6因子”之后进行，同样可以得到简化。

【解二】原 数 列：0、6、24、60、120、（ 210 ）

        子数列一：0、1、 2、 3、  4、（  5  ）           （等差数列）

        子数列二：1、2、 3、 4、  5、（  6  ）           （等差数列）

        子数列三：2、3、 4、 5、  6、（  7  ）           （等差数列）

 

【例4】1、9、35、91、189、（    ）

A.286           B.310           C.341           D.352

【答案】C

【解一】原 数 列：1、   9、    35、   91、   189、 （ 341 ）

做一次差：    8、    26、   56、   98、 （ 152 ）

再 做 差：        18、  30、   42、  （54）   （等差数列）

【解二】原 数 列：1、9、35、91、189、（ 341 ）

        子数列一：1、3、 5、 7、  9、（  11 ）           （等差数列）

        子数列二：1、3、 7、13、 21、（  31  ）          （二级等差数列）

做一次差： 2    4   6   8  （10）

 

问题一：例2~例4这三个例题既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决。这其中到底有没有本质的联系呢？

 

多级数列与因数分解本质联系 1.   能够分解为“两个等差数列子数列”的数列，是一个二级等差数列； 2.   能够分解为“三个等差数列子数列”的数列，是一个三级等差数列； 3.   能够分解为“四个等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列； 4.   能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个二级等差数列子数列”的数列，是一个三级等差数列； 5.   能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个三级等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列； 6.   能够分解为“两个二级等差数列子数列”的数列，是一个四级等差数列；

 

事实上，上述结论并不难记忆，首先你把一般的等差数列称为“一级等差数列”，那么上述结论可以简化为结论一。

结论一：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相乘构成的乘积数列，是一个M+N级等差数列。

 

另外还有一个类似的重要结论，我们称为结论二。

结论二：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相加构成的和数列，是一个M级等差数列（M≧N）。

 

以上两个结论对于我们直接解题意义并不重大，但对于我们理解数列解题方法，综合比较不同的数列解题方法，有着非常重要的意义。

 

问题二：如果一道题既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决。而显然前者更加简单、实用，那么“因数分解”这种方法还有什么实际的用途和意义呢？

多级数列与因数分解使用范围 如果一个数列既可以通过“多级数列”做差的方式来解决，也可以通过“因数分解”的方式来解决，强力推荐大家使用做差来得到答案。但有时候，你必须并且只能通过“因数分解”来得到精准的答案，因为你有可能碰到以下两种情形： 1.   数列的子数列不全是等差数列或其它多级数列。最常见的情形就是子数列当中存在“质数数列”和“等比数列”； 2.   数列的已知数字个数较少，没有比其级数多2的。最常见的情形就是“已知四个数字的三级等差数列”和“已知五个数字的四级等差数列”，如果直接做差将缺乏说服力。

 

问题三：多级做差数列很好入手，拿来做差即可。但是如果一个数列需要通过“因数分解”分解成若干子数列，我们从何处下手呢？

 

因数分解法常用子数列 1)   -2、-1、0、1、2、3…    （如果数列中间有0，或者有正有负的） 2)   0、1、2、3、4…         （如果数列端点是0） 3)   2、3、5、7、11…        （如果数列中有数字明显存在7或11因子） 4)   1、2、3、4、5、6…      （也可以是2、3等其它数开头的自然数列） 5)   1、3、5、7、9…         （也可以是3开头的奇数数列）

 

【例5】0，4，18，48，（    ）

A.100           B.120           C.140           D.160

【答案】A

【解析】原  数  列：0，4，18，48，（ 100 ）

        提取子数列：0、1、 2、 3、（   4 ）          （常用子数列2）

        剩余子数列：1、4、 9、16、（  25 ）          （平方数列）

 

【例6】（国2006一类-33、国2006二类-28）-2，-8，0，64，（    ）

A.-64           B.128           C.156           D.250

【答案】D

【解析】原  数  列：-2、-8、 0、64、（ 250 ）

        提取子数列：-2、-1、 0、 1、（  2  ）            （常用子数列1）

        剩余子数列： 1、 8、27、64、（ 125 ）            （立方数列）

 

【例7】（国2007-41）2，12，36，80，（    ）

A.100           B.125           C.150           D.175

【答案】C

【解析】原  数  列：2，12，36，80，（ 150 ）

        提取子数列：2、 3、 4、 5、（  6  ）         （常用子数列4）

        剩余子数列：1、 4、 9、16、（ 25 ）          （平方数列）

 

【例8】2，30，130，350，（    ）

A.729           B.738           C.1029          D.1225

【答案】B

【解析】原  数  列：2，30，130，350，（ 738）

        提取子数列：1、 3、  5、  7、（  9 ）            （常用子数列5）

        剩余子数列：2、10、 26、 50、（ 82 ）            （二级等差数列）

 

【例9】（江苏2006B-63）8，12，16，16，（    ），-64

A.0         B.4         C.-8            D.12

【答案】A

【解析】原  数  列：8，12，16，16，（  0 ），-64

        提取子数列：4、 3、 2、 1、（  0 ）、-1          （常用子数列1）

        剩余子数列：2、 4、 8、16、（ 32 ）、 64          （等比数列）

 

【例10】（江苏2004A类真题）2，8，24，64，（    ）

A.160           B.512           C.124           D.164

【答案】A

【解析】原  数  列：2，8，24，64，（ 160）

        提取子数列：1、2、 3、 4、（  5 ）           （常用子数列4）

        剩余子数列：2、4、 8、16、（  32）           （等比数列）

 

【例11】6、15、（       ）、63、121

        A. 21       B. 35       C. 48       D. 58

【答案】B

【解析】原  数  列：6、15、（ 35 ）、63、121

        提取子数列：3、 5、（  7 ）、 9、 11          （常用子数列5）

        剩余子数列：2、 3、（  5 ）、 7、 11          （质数数列）

 

【例12】（江苏2008C-10）2、6、15、28、（    ）、78

A. 45       B. 48       C. 55       D. 56

【答案】C

【解析】原  数  列：2、6、15、28、（ 55 ）、78

        提取子数列：2、3、 5、 7、（ 11 ）、13            （常用子数列3）

        剩余子数列：1、2、 3、 4、（  5 ）、 6            （等差数列）

 

【例13】（江西2008-31）0、8、54、192、500、（   ）

A．820          B．960          C．1080        D．1280

【答案】C

【解析】原  数  列：0、8、54、192、500、（1080）

        提取子数列：0、1、 2、  3、  4、（ 5 ）          （常用子数列2）

        剩余子数列：1、8、27、 64、125、（ 216）         （立方数列）

 

【例14】（四川2008-5）6、21、52、105、（     ）

A. 172      B. 186       C. 210        D. 224  

【答案】B

【解析】原  数  列：6、21、52、105、（ 186 ）

        提取子数列：2、 3、 4、  5、（  6  ）            （常用子数列4）

        剩余子数列：3、 7、13、 21、（  31 ）            （二级等差数列）

 

【例15】（国家2010-41）1，6，20，56，144，（）

A.384                   B.352                    C.312                    D.256

【答案】B

【解析】原  数  列：1，6，20，56，144，（352）

        提取子数列：1、3、 5、 7、  9、（11）           （常用子数列5）

        剩余子数列：1、2、 4、 8、 16（  32）           （等比数列）

 

【例16】（湖南2009-102）0、6、24、60、（ ）

A. 70 　        B. 80　         C. 100 　             D. 120

【答案】D

【解析】原  数  列：0、6、24、60、（    ）

        提取子数列：0、1、 2、 3、（ 4  ）           （常用子数列2）

        剩余子数列：2、6、12、20、（ 30 ）           （二级等差数列）

 

【例17】（北京社招2009-3）4，20，54，112，（  ），324

A.200        B. 232      C. 256        D.276

【答案】A

【解析】原  数  列：4，20，54，112，（  200 ），324

        提取子数列：4、 5、 6、  7、（  8  ）、 9         （常用子数列4）

        剩余子数列：1、 4、 9、 16、（  25 ）、36        （平方数列）