误差初步理论（3）

(选自《资料分析模块宝典》五版)

五、近似误差的估算

在学“近似误差”的估算之前，我们先强调两个重要的问题：

1.         我们对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有必要也是不可行的，实际操作中我们只需要给出一个大概的值即可；

2.         “近似误差”一般分成两档：“1-10%”与“1-10‰”，明显低于1‰很多的一般可以忽略，明显高于10%很多的情形在近似中一般也很难见到。

我们一般运用“左移两位百分法”估算“1-10%”左右的“近似误差”。譬如，当我们判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差（不考虑正负号）“0.83”左移两位变为“83.00”，再与原数“42.83”进行比较，大概是2倍的关系，那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。如下图所示：

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通过上面六个例子的讲述，相信大家已经掌握了“近似误差”估算的要领。与此同时，“选项差异”的估算也是通过同样的方法进行估算的，只是在具体操作的时候有这样两点特别之处：

1.         “选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，我们一般截取前1~2位计算即可；

2.         “选项差异”很容易达到“相对误差”很难达到的10%以上的差异，这时候一般通过计算“绝对误差是真实值的几分之一”或者运用类似的“左移一位十分法”来进行估算。

我们分析某题选项当中两个数值“784.31”、“768.45”之间的相对差异，两个数相差约为“16.00”，将之与“784.31”做对比，通过“左移两位百分法”易知相对差异大约为2%左右。

我们再分析某题选项当中两个数值“6437.21”、“4829.32”之间的相对差异，两个数相差约为“1600.00”，将之与“6437.21”做对比，前者大概是后者的1/4，得知相对差异大约为25%。

我们再分析某题选项当中两个数值“3158”、“1871”之间的相对差异，两个数相差约为“1300”，将之左移一位（变成“13000”）与“3158”做对比，大概是后者的4倍左右，得知相对差异大约为十分之4，即40%左右。

至此，我们便真正掌握了“近似误差”和“选项差异”的估算，在精度范围允许的前提下，我们便可以自由的进行截位估算了。

六、有向误差分析

我们前面提到过，当“选项差异”为“近似误差”的4~9倍时，对数字的近似有可能会在一定程度上影响到对最后结果的判定，这时候我们一般有两种办法来应对和修正，我们先介绍第一种办法：有向误差分析。

所谓有向误差分析，指的是截位估算的时候，通过对过程数字的相对误差来判断最后估算结果相对误差的符号，直白的说，就是判断估算结果是大于真实值还是小于真实值，从而锁定答案的方法。这是一种定性的分析方法，在后面的章节里，我们还可能碰到定量的分析。

我们用一个简单的例子来阐明这个道理：

［例7］5461÷14831=？

A.33%                  B.35%                  C.37%                  D.39%

［答案］C

［解析］5461÷14831≈5400÷15000=36%

这时候问题来了，与36%最接近的有两个选项，这时候应该怎么选择呢？我们可以选用“有向误差分析”来判定。通过简单估算，“选项差异”超过5%（37%与39%之间的相对差异），将“5461”、“14831”分别近似为“5400”、“15000”的近似误差都在1%左右，于是我们可以确定，结果肯定在36%的附近，也就是在35%与37%之间进行选择。很明显，近似的过程缩小了分子而扩大了分母，导致估算值36%小于真实值，因此我们选择C。

［例8］3390.5×36.69%×12.73%=？

A.143                          B.158                           C.174                           D.191

［答案］B

［解析］3390.5×36.69%×12.73%≈3333.333×36%×12.50%=150

“选项差异”在10%左右，“近似误差”在2%以内，算得结果肯定在150附近。由于近似过程中三个因子都被缩小，所以近似结果肯定小于真实值，那么答案就应该比150要大，所以选择B。

七、误差抵消与精度提高

我们前面提到过：两个数相乘（或相除），那么这两个数的相对误差之和（或之差），近似为总体的相对误差（事实上，对于多于两个数的数字的乘除也是近似满足的）。那么，如果我们在近似的时候，使得乘法中的相对误差保持相反的方向或者除法中的相对误差保持相同的方向，就能有效的抵消误差，从而提高精度。而这便是我们应对“选项差异”不足够大时的另外一个有效方法。

我们再来看这两个例子：

［例9］5461÷14831=？

A.33%                  B.35%                  C.37%                  D.39%

［答案］C

［解析］5461÷14831≈5500÷15000=36.7%，选择C。

［注释］截位近似时，被除数提高了1%左右，除数也提高了1%左右，两者相减，误差将大大的被削减。

［例10］3390.5×36.69%×12.73%=？

A.143                          B.158                           C.174                           D.191

［答案］B

［解析］3390.5×36.69%×12.73%≈3500×36%×12.50%=157.5，选择B

［注释］截位近似时，第一个因子提高了3-4%，第二个因子降低了2%以内，第三个因子也降低了2%以内，三者相加，误差将大大的被削减。

八、总结

至此，我们的“误差初步理论”就已经全部讲述完毕，有了这些知识，我们就能科学而有效的对计算进行合理的“截位估算”，既能简化计算，又不至于造成过大的误差。

诚然，我相信绝大部分考生都是第一次接触这样的理论和方法，所以在接受和理解上绝对不可能“一蹴而就”。因此，建议大家在看完本章后面的“十大速算技巧”之后，再把本节内容好好重新看一遍，你一定会有更深层次的体会。同样的道理，当你完成大量资料分析练习之后，建议你将本章速算的所有内容也好好重读一遍，这样下来你才能真正熟练的掌握资料分析的速算技巧，并且在考场之上轻松应对。