自然数列相邻两数的乘积之和的研究

（2013-3-10）

例1.  1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n（n+1）

=1×（1+1）+2×（2+2）+3×（3+3）+4×（4+4）+……n×（n+n）

=（1+2+3+4+……+n）+（1² +2² +3² +4² +……+n²）

= n（n+1）/2 + n(n+1)(2n+1)/6

= n(n+1)( n+2)/3

这就是说，在前n+1个自然数中，所有相邻两数的乘积（除首项1和末项n+1外，其他每项的数既做一次被乘数，又做一次乘数，均出现了2次，共有n项乘积）之和，即

           1×2 + 2×3 + 3×4 +…+ n×（n+1）= n(n+1)( n+2)/3。

例2. 观察下面两式，（1）有n+1个加数，（2）有n-1个加数，共有2n项，

1×2    +   3×4   +   5×6   +   ……     +   （2n-1）×2n       （1）

2×3   +   4×5   +   ……   +   2n×（2n+1）              （2）

（2）+（1）得2n项的和，

2n(2n+1)( 2n+2)/3 = 4n ( n+1) (2n+1)/3                       （3）

（2）-（1）同项次的数相减得，

2×2 +  4×2  + 6×2 + ……+ 2n×2 = 4×（1+2+3+……n）= 2n(n+1)   （4）

（3）+（4）得，

2×（2） = 4n( n+1) (2n+1) /3 + 2n(n+1) = 2n( n+1) (4n+5) /3

（2） =  n( n+1) (4n+5) /3.                                      （5）

这就是说，在前2n+1个自然数中，所有偶数与紧随其后的奇数的乘积之和为n(n+1)( 4n+5)/3.即

          2×3 + 4×5 + … + 2n×（2n+1） = n( n+1) (4n+5) /3.

验证，当n = 2时，在1、2、3、4、5中，2×3 + 4×5 = 2×3×（4×2+5）/3.

（3）-（5）得，

（1） = 4n( n+1) (2n+1) /3 - n( n+1) (4n+5) /3 = n( n+1) (4n-1) /3.

这就是说，在前2n个自然数中，所有奇数与其紧随其后的偶数的乘积之和为n(n+1)( 4n-1)/3. 即

          1×2 + 3×4 + … + （2n-1）×2n = n(n+1)( 4n-1)/3.

验证，当n = 2时，在1、2、3、4中，1×2 + 3×4 = 2×3×（4×2-1）/3.