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(2014-03-07 18:01:53)
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分类： 学术论文 |
多行多列表格式图形中的四边形的个数研究
（2012-10-11）
小学三年级数学上册在让学生认识平行四边形以后，为了培养孩子的认知能力，提高思维的严整性和敏捷性，发展超常能力，给出了2行2列、2行3列倾斜表格式，要求分别写出这两个图形中平行四边形的个数。为了便于学生用归纳法求出这类多行多列平行四边形的个数，本文进行系统研究。
要计数多行多列倾斜表格式中的平行四边形的个数，关键是确保既不重复也不遗漏。因而计数时必须按照一定的顺序和方向。
本文研究的多行多列表格式图形计数方法均为，行次从上到下，列次从左到右，分别以该行左上角第一、第二、第三、…、第N-1个点为四边形第一顶点，按顺时针方向计数。
先看下面表格：
|
第1行第1列 |
第1行第2列 |
…… |
第1行第k列 |
…… |
第1行第n列 |
|
第2行第1列 |
第2行第2列 |
…… |
第2行第k列 |
…… |
第2行第n列 |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
|
第m行第1列 |
第m行第2列 |
…… |
第m行第k列 |
…… |
第m行第n列 |
为研究方便，这里规定，在计数平行四边形个数时，列次从左到右、行次从上到下的顺序，分别以该行左上角第一、第二、第三、…、第n-1个点为四边形第一顶点，以顺时针方向计量。
例1、
在第一个图形中，以第一顶点计数的平行四边形个数为1.
在第二个图形中，分别以第一、第二点为第一顶点，按顺时针方向计数的平行四边形个数为2+1.
在第三个图形中，分别以第一、第二、第三点为第一顶点，按顺时针方向计数的平行四边形个数为3+2+1.
在第四个图形中，分别以第一、第二、第三、第四点为第一顶点，按顺时针方向计数的平行四边形个数为4+3+2+1.
推论1.在一行n列的平行四边形图形中，平行四边形的个数为n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+…3+2+1= n（n+1）/2.
例2、两行多列平行形的个数。再看这组图形（博文不便画图，这四幅图分别是二行一列、二行二列、二行三列、二行四列，即分别是例1中对应各图中间加上一横）
在第一个图形中，以第一行第一顶点计数的平行四边形个数为2，第二行第一顶点计数的平行四边形的个数为1，总个数为2+1=(1+2) ×1.
在第二个图形中，分别以第一行顺次二点为第一顶点计数的平行四边形个数为4+2=（1+2）×2，第二行第一、第二顶点计数的平行四边形个数为2+1，总个数为(1+2) ×3.
在第三个图形中，分别以第一行顺次三点为第一顶点计数的平行四边形个数为6+4+2=（1+2+3）×2，分别以第二行顺次三点为第一顶点计数的平行四边形个数为3+2+1，总个数为(1+2+3)×3.
在第四个图形中，分别以第一行顺次四点为第一顶点计数的平行四边形个数为 8+6+4+2 =（1+2+3+4）×2，分别以第二行顺次四点为第一顶点计数的平行四边形个数为4+3+2+1，总个数为(1+2+3+4)×3.
推论2.在二行n列的平行四边形图形中，平行四边形的个数为
（1+2+3+…n）×3= 3 n（n+1）/2.
观察推论1和推论2，得出
推论3.在m行n列的平行四边形中，平行四边形的个数为
(1+2+3+…n) ×(1+2+3+…m)
= m n（m+1）（n+1）/4
如果把平行四边形换成正方形，求出中算本的每一页有多少个四边形，也是一样。比如，每页18排×20列=360格的中算本，共有四边形个数为（1+18）×（1+20）×18×20÷4=35910.
推论4.特别地，当m = n时，即n行n列的表格式图形中，平行四边形的个数为
﹝n×（n+1）/2﹞×﹝n ×（n+1）/2﹞ = ﹝n（n +1）×/2﹞2.
上面研究的是多行多列表格式图形中全部四边形的个数的计数公式。在实际生活中，往往需要计数多行多列直角表格式图形中的全部正方形的个数。为方便起见，首先从行高和列宽等值为1厘米的n行n列的直角表格式图形为对象进行研究，以便找到规律性的认识。
显然，以上五种正方形表格中各个大小的正方形个数，见下表：
|
边长为→ |
1cm |
2cm |
3cm |
4cm |
5cm |
合计正方形总数 |
|
1行1列 |
12 |
|
|
|
|
12=1（1+1）（2x1+1）/6 |
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2行2列 |
22 |
12 |
|
|
|
22+12 =2（2+1）（2x2+1）/6 |
|
3行3列 |
32 |
22 |
12 |
|
|
32+22+12 =3（3+1）（2x3+1）/6 |
|
4行4列 |
42 |
32 |
22 |
12 |
|
42+32+22+12 =4（4+1）（2x4+1）/6 |
|
5行5列 |
52 |
42 |
32 |
22 |
12 |
52+42+32+22+12 =5（5+1）（2x5+1）/6 |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
|
n行n列 |
|
|||||
这样，就不难得出
推论5.
﹝（ n+1）×n/2﹞2 —
n（n+1）（2n+1）/6
下面，我们来研究n行n+1的直角表格式图形（行高和列宽等值）中的正方形总数。显然，
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边长为→ |
1cm |
2cm |
3cm |
4cm |
5cm |
合计正方形的个数 |
|
1行2列 |
1×2 |
|
|
|
|
1×2 = 12+1 |
|
2行3列 |
2×3 |
1×2 |
|
|
|
1×2+2×3 = （12+1）+（22+2）= （12+22）+（1+2） |
|
3行4列 |
3×4 |
2×3 |
1×2 |
|
|
（12+1）+（22+2）+（32+3）= （12+22+32）+（1+2+3） |
|
4行5列 |
4×5 |
3×4 |
2×3 |
1×2 |
|
1×2+2×3+3×4+4×5 = （12+22+32+42）+（1+2+3+4） |
|
5行6列 |
5×6 |
4×5 |
3×4 |
2×3 |
1×2 |
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6 = （12+22+32+42+52）+（1+2+3+4+5） |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
|
n行n+1列 |
﹝12+22+32+42+52+…+（n-3）2+（n-2）2+（n-1）2+n2 ﹞ +﹝1+2+3+4+5+…+（n-3）+（n-2）+（n-1）+ n﹞（即前n个数的平方和+前n个数的和） =n(n+1)(2n+1)/6+（1+n）n/2 =n（n+1）（2n+4）)/6 |
|||||
推论6. n行n+1列的直角表格式（行高和列宽等值）图形中，正方形的个数为
n（n+1）（2n+4）)/6.
下面，我们来研究n行n+2列的直角表格式图形（行高和列宽等值）中的正方形的个数。
显然，
|
边长为→ |
1cm |
2cm |
3cm |
4cm |
5cm |
合计正方形的个数 |
|
1行3列 |
3×1 |
|
|
|
|
3×1 = （2+1）（2-1）= 22-1 |
|
2行4列 |
4×2 |
3×1 |
|
|
|
4×2+3×1 = （32-1）+（22-1） = （32+22）-2×1 |
|
3行5列 |
5×3 |
4×2 |
3×1 |
|
|
5×3+4×2+3×1 =（42+32+22）-3 |
|
4行6列 |
6×4 |
5×3 |
4×2 |
3×1 |
|
6×4+5×3+4×2+3×1 =（52+42+32+22）-4 |
|
5行7列 |
7×5 |
6×4 |
5×3 |
4×2 |
3×1 |
7×5+6×4+5×3+4×2+3×1
|
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
|
n行 n+2列 |
﹝（n+1）2 + n 2 +（n-1）2+（n-2）2 +（n-3）2…+62+5+42+32+22 ﹞- n =﹝n2+（n-1）2+（n-2）2 +（n-3）2+…+62+5+42+32+22 +12 ﹞+﹝（n+1）2 - n + 1 ）﹞ =﹝n（n+1）（2n+1)/6 -（n+1）﹞+﹝n（n+1）﹞ = |
|||||
推论7. n行n+2列的直角表格式（行高和列宽等值）图形中，正方形的个数为
n（n+1）（2n+7）/ 6.
下面，我们来研究n行n+3列的直角表格式图形（行高和列宽等值）中的正方形的个数。
显然，
|
边长为→ |
1cm |
2cm |
3cm |
4cm |
5cm |
合计正方形的个数 |
|
1行4列 |
4×1 |
|
|
|
|
4×1 = （3+1）（2-1）= 3×2-2×1 |
|
2行5列 |
5×2 |
4×1 |
|
|
|
5×2 + 4×1 = （4+1）（3-1）+（3+1）（2-1） = （4×3-2）+（3×2-2） = 4×3 + 3×2 - 2×2 |
|
3行6列 |
6×3 |
5×2 |
4×1 |
|
|
6×3 + 5×2 + 4×1 |
|
4行7列 |
7×4 |
6×3 |
5×2 |
4×1 |
|
7×4 + 6×3 + 5×2 + 4×1 =（6×5 + 5×4 + 4×3 + 3×2）- 2×4 |
|
5行8列 |
8×5 |
7×4 |
6×3 |
5×2 |
4×1 |
8×5 + 7×4 + 6×3 + 5×2 + 4×1 =（7×6+6×5+5×4+4×3+3×2）-2×5 |
|
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
|
n行n+3列 |
﹝（n+2）（n +1）+ （n+1）n = ﹝ 1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + 5×6 +…+（n-3）（n-2）+（n-2）（n-1）+（n-1）n + n（n+1）﹞+﹝（n +1）（n+2）-2n - 1×2 ﹞ =（1+12）+（2+22）+（3+32）+（4+42）+（5+52）+ …+﹝（n-3）+（n-3）2 ﹞ +﹝（n-2）+（n-2）2 ﹞
+﹝（n-1）+（n-1）2 ﹞ +﹝n+ n2﹞+﹝（n +1）n
= + ﹝1+2+3+4+5+…+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n﹞+﹝（n +1）n﹞ = = |
|||||
推论8. n行n+3列的直角表格式（行高和列宽等值）图形中，正方形的个数为
n（n+1）（2n+10）/6.
比较推论6、7、8，可以知道，
|
|
正方形的个数 |
|
n行n+1列 |
n（n+1）（2n+4）/ 6 = n（n+1）（2n + 3×1 + 1）/ 6 |
|
n行n+2列 |
n（n+1）（2n+7）/ 6 = n（n+1）（2n + 3×2 + 1）/ 6 |
|
n行n+3列 |
n（n+1）（2n+10）/6 = n（n+1）（2n + 3×3+ 1）/ 6 |
|
…… |
…… |
于是猜想，n行n+k列的直角表格式（行高和列宽等值）图形中，正方形的个数为
n（n+1）（2n+3k+ 1）/ 6.该公式可以由数学归纳法求证，在此不再赘述。
这样，我们就可以求出多行多列直角表格式图形（行高和列宽等值）中的正方形的个数了。这里，令m=n+k≥
n（n+1）（2n+3k+ 1）/6 = n（n+1）（3m-n+ 1）/6.
于是我们得出
推论9. n行m列（m
≥
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