数感的理解与实例分析

马云鹏 ( 东北师范大学教育学部 教授 )

2001 年，《数学课程标准》（实验稿）中就已经提出数感的概念。近些年来，数感更加为人所知，同时对于教学中如何培养学生的数感积累了很多经验。在本专题中将就如何理解数感以及如何在教学中体现数感结合案例进行分析。

一、数感的含意

《标准》对数感的表述是“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。”标准中对数感的表示是一种外延的表述，即描述了数感的若干个表现，而没有用内涵概念界定的方式，从而避免了相关概念的混淆。

从两个方面理解数感，首先是数的理解与表示。数是数量的抽象，而抽象出的数如何表示不同的数量，这就涉及到了数制即数表示的方式；其次要恰当地运用数解决问题。

【案例 1 】 ^[1]

由于二年级学生的生活经历还不十分丰富，认识 1000 这个较大的数还是比较困难的，因此可以把认识 1000 作为认识大数的开始，可以组织一些有意义的活动让学生了解生活中的数，通过 1000 感悟生活中的大数。

1 ．分组活动加深培养学生的数感

把班级的学生分为六个小组，每两个小组承担下面任务之一：

A 组通过调查说明： 1000 是一个不大的数；

B 组通过调查说明： 1000 是一个不小的数；

C 组通过调查说明： 1000 是一个很大的数。

课前引导每一个小组制订调查计划，并且在课前完成调查。在综合与实践课上，让每一小组介绍调查的结果，并且发表感想。无论是制订计划还是发表感想，教师都应当加强指导。比如，学生可以制订下面的计划、发表相应的感想：

承担第一项任务的小组，可以计划：数出 1000 粒小米、大米或者黄豆，发现并没有想象的那么多；测量 1000 毫米的距离，发现 1000 毫米并不很长。

承担第二项任务的小组，可以计划：到超市调查 1000 元钱可以购买的东西，发现数量比较大、或者东西比较贵重，知道 1000 元钱不少；测量 1000 米的距离，发现 1000 米并不短。

承担第三项任务的小组，可以计划：从楼房的高度推测 1000 米的山有多高，发现 1000 的高度很高，还可以进一步调查本省高于 1000 米的山峰有多少；从停车场一辆汽车所占面积推测 1000 辆汽车所占面积，发现占地面积相当大。

在学生汇报的基础上，教师的总结是非常重要的，其核心是：同样是 1000 这个数，用在不同的情境给人的感觉是不一样的，因此在实际生活中，应当把数与数所表达的情境结合起来。如果有学生提出 1000 光年，可以补充给学生现在人类已经探索到了上亿光年，是一个不可想象的距离。

2 ．拓展事例加深培养学生的数感

在上面讨论的基础上，进一步引发学生脱离 1000 这个具体的数，思考一些与“数感”有关的实际问题。比如，商场举行让利促销的活动，引发学生思考：

如果是几千元的产品，合适的让利单位应当是多少？

如果是几百元的产品，合适的让利单位应当是多少？

如果是几十元的产品，合适的让利单位应当是多少？

让学生不仅说出让利的数量单位，还要说出选择这个数量单位的理由。事实上，这样的问题并没有确切答案，主要是判断学生对数的感觉，即“数感”。根据一般人的感觉，对上述问题依次让利单位百元、十元、元是比较合理的。通过这样的讨论，一方面可以培养学生的数感，一方面还可以让学生感悟数学与现实生活是密不可分的。

【案例 2 】

下面的一些问题，可能有助于培养学生数感的形成。

1. 判断： 18 9 比 30 大还是小？ 1/2 3/8 比 1 大还是小？ 27% 、 1/4 、 0.23 哪个最大，哪个最小？

2. 如何解释学生这样的回答题目：池塘里有一些鸭子，跑到草地上 6 只，池塘里还剩下 8 只，原来池塘里有多少只？学生答： 14-6=8 ，原来池塘里有 14 只鸭子。

3. 你知道吗？ 1000 名同学做广播体操大概需要多大的场地？能容纳 4 万人的体育场大概是怎样规模？学校有一个摆 20 个乒乓球台子的体育馆，这个体育馆的乒乓球场面积有

二、数感在数学学习中的价值

首先，数感是学生对数的理解的重要标志。我们会看到有的学龄前儿童会很快的从 1 数到 10 ，但不知道数位等概念，没有真正理解。其次，学习数感要培养学生感悟数与现实背景的关系，数是抽象的，而建立数感不仅知道数之间的大小，也要知道有背景的数量的计算，如估算。再次，数感是运算、解决问题等的基础。最后，在教学中都要使学生积累活动经验，在活动中感受数的大小。

三、教学中体现数感的案例分析

【案例 3 】

[ 教材呈现 ] 不同的学生在数教具，在数的过程中学生在不断建立数感。教材中展现了用计数器表示数，这是一种抽象的过程，这与小棒是有一定区别的，计数方式上有所不同。可以看出学生建立数的概念。

[ 教学设计 ]

学习目标：

1. 结合不同层次的数数活动，经历从实际情境中抽象出数的过程，会数、会读 100 以内的数。

2. 在数数过程中，认识计数单位“百”，感受数位的意义。

3. 结合数数活动，初步感受一列数蕴涵的规律，积累更为丰富的数数经验，激发学习数学的兴趣。

教学过程：

活动一：数百以内数，初步感知，了解已有的数数经验。

1. 估一估，桌面上的这堆小棒大约有多少根？说一说：你估计的结果，并讲一讲理由。

2. 数一数，这堆小棒有多少根？（学生独立数小棒）想不想知道这堆小棒到底有多少根呢？我们该怎么办？在数之前老师有两个要求：第一，要尽可能数出声音；第二，要把这堆小棒的数目记在心里。

3. 说一说：你数出这堆小棒是多少根？（学生汇报数的结果）

4. 想一想：当你数到 9 的时候，后面的数是多少？ 19 后面的数是多少？ 29 后面呢？ 39 、 49 、 59 、 69 、 79 、 89 、 99 呢？

活动二：再数百以内数，探索方法，建立百以内数之间的联系。

看着同学们认真地数着这些小棒，老师也很高兴。可是你们把数完的小棒都这么一堆一堆地摆在那里，只有你自己知道是多少根。能不能想个好的摆放方法，让别人很快就知道是多少根？

同桌互相说一说：怎样摆放？

1. 集体交流，初步达成共识：每 10 根一堆数起来方便。

2. 再次数这堆小棒，数完后小棒的摆放要让别人很快就知道是多少根。

3. 学生数好后汇报数的结果，这次与第一次数的结果一样吗？

4. 如何得到正好 100 根小棒？谁的小棒正好是 100 根？其他同学想不想也得到正好 100 根小棒？你有什么办法？需要向老师借几根？或需要放回去几根？

5. 认识计数单位“百”。

活动三：三数百以内数，策略多样，学习百以内数的组成。

1. 我们以前认识过 20 以内的数，我们知道一个一个地数， 10 个“ 1 ”是多少？那么今天我们十个十个地数， 10 个“ 10 ”又是多少？尝试用其他方法数 100 根小棒。除了一个一个地数和十个十个地数，还可以怎样数？（五个五个数，两个两个数……）选择其中一种方法数小棒。

2. 按要求数出一定数量的小棒，学习数的组成。

（ 1 ）取出 28 根小棒，要让别人很快看出是 28 根。 28 里面有几个十和几个一？

（ 2 ）接着 28 根往后数，数到 35 根。 35 里面有几个十和几个一？

（ 3 ）接着 35 根往后数，数到 42 根。

活动四：四数百以内数，巩固应用，发展数数的经验。

1. 数一数：一共有多少块积木？

（ 1 ）学生独立完成。

（ 2 ）汇报交流数的结果，并说一说你是怎样数的。

2. 数一数：一共有多少只小蚂蚁？

（ 1 ）怎样数能既准又快呢？试一试。

（ 2 ）汇报数的结果，并展示数的方法。

3. 接着数下去。

① 56 ②从 87 数到 100 。

③ 2 个 2 个数，从 70 数到 80 。 ④ 5 个 5 个数，从 5 数到 100 。

⑤倒着数，从 100 数到 88 。

4. 把 100 根小棒都握在手里，感受 100 根小棒是多少。然后从中取出 90 根，看谁数得快！说说你是怎样得到 90 根小棒的。 ^[2]

为使学生建立数感老师给学生提供丰富的活动，活动中有学生的操作、表达、展示，在活动中学生体会到建立百的重要性。同时体现数学问题的本质如新的计数单位——百，数位、位值等。多样性的活动建立数感，使学生积累丰富活动经验。

参考资料：

[1] 史宁中 . 小学数学核心问题：基本概念与运算法则 [M]. 北京：高等教育出版社 ,2012.

[2] 马云鹏 . 数学课程标准——小学数学教师研修指南 [M]. 东北师范大学出版社， 2013.