公元265年，继秦朝以后中国获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。

　　可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了一百余年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。

　　在《隋书》里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<л< 3.1415927，精确到小数点后第7位。这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小数点后17位。遗憾的是，没有人提到他具体的计算方法。一般认为，祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明他是个很有毅力的人，事实上，如果按照割圆术的方法，需要连续算到正24576边形，才能得到上述数据。

　　同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项重要成果，即约率：22/7，密率：355/113.约率与阿基米得的结果一致，即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位。在现代数论中，如果将л表示成连分数，则其渐进分数为，3/1，22/7，333/106，55/113，……第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。

　　1913年，日本数学史家三上义夫在其有重大影响的著作《中国和日本的数学之发展》里，主张把355/113这一圆周率数值称为“祖率”。在欧洲，直到1573年，这个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是，时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的，尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的所谓“调日法”测得，再用割圆术加以验证，正如古希腊的阿基米得运用平衡法和穷竭法一样。

　　和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算。此项结果在他本人撰写的一篇收入《宋书》的政论文章里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》，可惜后者失传了。有趣的是，唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注文中称为“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅，祖冲之的儿子，在数学上也有许多创造。因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式归功为他们祖氏父子共同获得的结果。

　　按照李淳风的描述，祖氏计算出了所谓“牟合方盖”的体积，其中最关键的是求得“外三棋”的体积，他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与一个内切的倒方锥相等。而这个倒方锥的体积显然是立方体的1/3，因此内棋的体积便是立方体的2/3.最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之比为4/л的结果，就得到阿基米得的球体积计算公式，V=（4/3）лr^3.

　　正如中国当代数学史家李文林所指出的，“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是戛然而止。”

　　文：蔡天新（浙江大学数学系教授）