十三、比较法

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通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。   在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。   （一）在同一道题内比较   在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。   1.直接比较   例1 五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度） 解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种： 7-5=2（棵） 第二次比第一次多种： 75+15=90（棵） 90棵中含有多少个2棵就是全班的人数： 90÷2=45（人） 这批树苗的棵数是： 5×45+75=300（棵） 或7×45-15=300（棵） 答略。   *例2 四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度） 解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多： 28-15=13（箱） 第二批红茶比第一批红茶多： 3640-2925=715（千克） 因此，可得每一箱红茶重量： 715÷13=55（千克） 每一箱绿茶重量：         （2925-55×15）÷35 =（2925-825）÷35 =2100÷35 =60（千克） 答略。   2.画图比较   有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。 http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/6f748b82798191aaf703a67b.jpg 解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。   http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/3673b8124e7518f4c2fd7843.jpg 可看出，这段公路一共分为（7+2）份。 http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/a850c99579c87671d0135e4d.jpg 答略。   3.列表比较   有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。   例 赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度） 解：摘录已知条件排列成表13-1。 表13-1 http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/1a00f7246eeed7098644f948.jpg 比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。 可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。 从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱： 6.8-0.4×2=6（元） 每千克梨的价钱是： 6÷（2+3）=1.2（元） 每千克苹果的价钱是： 1.2+0.4=1.6（元） 答略。

（二）和容易解的题比较

 

当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。

 

1.与常见题比较

 

例 4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度）

小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。

有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？

把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来：

3匹马………………………3篮苹果

每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果

4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多

解答“苹果”这道题的方法是：

8×3÷4

通过这样的比较，自然会想出解题的方法。

解：8×3÷4=6（千米）

答：每人骑马行的路程是6千米。

 

2.与基本题比较

 

例 甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小时走3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）

在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。

把上题与下面的题作比较，就会发现问题。

甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？

解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。

前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。

解：本题的总路程是：

10.5×2

总时间是：

10.5÷5+10.5÷3

所以他往返的平均速度是：

10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小时）

答略。

 

3.把逆向题与顺向题比较

 

例王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多 _{http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/ac37574ef3cb0a33b2de0555.jpg}

题，不易找出解题方法。

把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。

 

_{http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/3ea1d462c1ac3ee7e6113a53.jpg}

答略。

（三）创造条件比较

 

对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。

 

*例1 学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2。

表13-2

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/f6b5267f4ab5dc3229388a5d.jpg

从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。

因为大米袋数2和5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5），把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘以2），得表13-3。

此时题中条件便可以比较了。

表13-3

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/205e2797a970e65754fb9659.jpg

看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多买：

15-8=7（袋）

因此，第一次买的粮食比第二次多：

1375-1200=175（千克）

每袋面粉重：

175÷7=25（千克）

每袋大米重：

          （275-25×3）÷2

=（275-75）÷2

=100（千克）

答略。

 

*例2 1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表13-4。

表13-4

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/bbe364382a764a1996ddd85b.jpg

从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。

因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此时题中条件便可以比较了。

表13-5

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/2d0335a8047b568bca130c26.jpg

⑥-⑤，得：

2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即，

1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦

⑥-④，得：

3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧

⑧-⑦，得：

2支铅笔价钱=0.30（元）

1支铅笔价钱=0.15（元）

把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是：

0.75-0.15=0.60（元）

根据①可求出一块橡皮的价钱数：

         （2.35-0.15-0.6×3）÷2

=0.4÷2

=0.2（元）

答略。

 

*例3 甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度）

解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较。此时就要创造条件比较了。

已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件：

140×（1-80％）=28（个）

这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：

32-28=4（个）

这4个所对应的分率是：

80％-75％=5％

所以，乙需做的零件是：

4÷5％=80（个）

甲需做的零件是：

140-80=60（个）

答略。