十二、消元法

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在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。     （一）以同类数量相减的方法消元   例 买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度） 解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。 表12-1 http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/076a4a3694dbf8e7a2cc2b76.jpg   从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量： 5-2=3（把） 3把椅子的钱数是： 540-336=204（元） 买1把椅子用钱： 204÷3=68（元） 把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：           336-68×2 =336-136 =200（元） 答略。

（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元

 

解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。

 

1.以两个数的和代换某数

 

*例甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）

解：题中的数量关系可用下面等式表示：

甲+乙=584     ①

甲+88=乙      ②

 

把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：

甲+甲+88=584

甲×2+88=584

2甲=584-88

=496

甲=496÷2

=248（本）

乙=248+88

=336（本）

答略。

 

2.以两个数的积代换某数

 

*例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）

解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。

这样可以认为242元可以买布鞋：

15+7=22（双）

每双布鞋的钱数是：

242÷22=11（元）

每双皮鞋的钱数是：

11×5=55（元）

答略。

 

3.以两个数的商代换某数

 

*例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）

解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。

现在可以认为，用48元可以买钢笔：

5+3=8（支）

每支钢笔值钱：

48÷8=6（元）

每支圆珠笔值钱：

6÷4=1.5（元）

答略。

 

4.以两个数的差代换某数

 

*例 甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度）

解：题中三个人的钱数有下面关系：

        甲+乙+丙=235                              ①

        甲-乙=80                               ②

        甲-丙=90                               ③

由②、③得：

        乙=甲-80                            ④

 

        丙=甲-90                             ⑤

用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：

        甲+（甲-80）+（甲-90）=235

甲×3-170=235

甲×3=235+170

=405

甲=405÷3

=135（元）

乙=135-80

=55（元）

丙=135-90

=45（元）

答略。

 

（三）以较小数代换较大数的方法消元

 

在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。

 

*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）

解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。

这样他们共采集松树籽：

78+18=96（千克）

因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：

14+18=32（名）

每一名女学生采集松树籽：

96÷32=3（千克）

每一名男学生采集松树籽：

3-1=2（千克）

答略。

 

（四）以较大数代换较小数的方法消元

 

在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。

 

*例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）

解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：

8×5=40（元）

这时可认为一共买来篮球：

9+5=14（个）

买14个篮球共用钱：

432-40=392（元）

篮球的单价是：

392÷14=28（元）

足球的单价是：

28+8=36（元）

答略。

（五）通过把某一组数乘以一个数消元

 

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。

 

*例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。

表12-2

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/4aa49e3d7ca6073abba1677c.jpg

把第①组中的数量乘以3得表12-3。

表12-3

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/de32f2dee0f35a6e95ee377e.jpg

第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。

一匹马吃草：

20÷2=10（千克）

一只羊吃草：

（38-10×2）÷3

=18÷3

=6（千克）

答略。

（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元

 

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。

 

*例1 买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。

表12-4

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要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。

表12-5

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/c05632faf00b7024a9d3117a.jpg

③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：

0.72÷3=0.24（元）

一块橡皮的价格是：

          （1.68-0.24×6）÷3

=（1.68-1.44）÷3

=0.24÷3

=0.08（元）

答略。

 

*例2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表12-6。

表12-6

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/f345cefcdd955cb8b801a045.jpg

把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。

表12-7

http://hiphotos.baidu.com/talenty/pic/item/a06ab2def5060762cdbf1a46.jpg

③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，

一个大杯里面可以放入砂糖：

960÷16=60（克）

一个小杯里面可以放入砂糖：

          （420-60×5）÷3

=（420-300）÷3

=40（克）

答略。