世界上伟大的几何学大师----几何学之父欧几里德

http://t7.baidu.com/it/u=620017804,1310418530&gp=-10.jpg

欧几里德(Euclid of Alexandria)，希腊数学家。约生于公元前330年，约殁于公元前260年。

欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书，书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。


欧基里得 (活动于公元前330-前275)

古希腊数学家。以其所著的《几何原本》(简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说： “几何无王者之路。”意思是， 在几何里，没有专为国王铺设的大道。   这句话后来成为传诵千古的学习箴言。斯托贝乌斯（约 500）记述了另一则故事,说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。

欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得所著，而且已经散失。

欧几里德的《几何原本》中收录了23个定义，5个公理，5个公设，并以此推导出48个命题（第一卷）。

享盛誉时期约公元前300年
    象伟大的希腊几何学家欧几里德这样千古流传的人物在本册中寥寥无几。虽然象拿破仑、亚力山大和马丁·路德这样的人物在他们的生涯期间的名气要比欧几里德显赫得多，但是从长远的观点来看也许远不如他流传久远。
    虽然欧几里德大名鼎鼎，但是有关他生活的详细情况我们都几乎一无所知。我们只知道他在公元前300年左右是积极活跃在埃及亚历山大省的一位教师。我们不知道他的生卒年，甚至不知道他诞生在哪个大陆，更不用说在哪座城市了。他的名气主要在于他编写的伟大的几何教科书《几何原本》。他还写了几本书，其中有的被保存下来。
    《几何原本》的重要性并不在于它所论证的哪条具体定理，书中几乎所有的定理和证法在欧几里德以前就为人所知晓。欧几里德的伟大贡献在于他对教材的编排和大纲的制订。
    他首先涉及到要挑选一套定理和公理，接着就认真地编排这些定理和公理，循序渐进，逻辑性强。他在必要的地方补充了缺少的步骤，提出了缺少的证据。值得注意的是，《几何原本》虽然主要是对平面几何和立体几何的发展，但是也包含着大量的代数和数论内容。
    《几何原本》作为使用了两千多年的教科书，不容置疑是曾经出现过的最成功的教科书。他编写的这部著作臻于完美，刚一问世就取代了所有先前的教科书，使它们很快就被人遗忘了。《几何原本》最初用希腊文写成，后来被译成许多种其他文字。该书的首次印刷版出现在1482年，仅在古腾堡发明印刷术约三十年之后。从那时起已经出版了一千多种不同的版本。
    《几何原本》起到了锻炼人们逻辑思维的作用，其影响远远超过了亚里士多德的任何一篇逻辑论文。它是严谨的逻辑推理体系的杰作，因此自从问世以来对任何伟大的思想家都具有巨大的魔力。
    欧几里德这部巨著是现代科学崛起的一个重要因素，这种说法不无道理。科学不只是准确的观察和精辟概括的集合。现代科学的伟大成就一部分是经验论和实验法相结合的产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物。
    我们不能确切地知道科学为什么出现在欧洲而不是中国，但是可以有把握地认为这并非仅仅出于偶然。当然象牛顿、伽利略和哥白尼这样的杰出人物起了极其重要的作用，但是这样的人才在欧洲大量涌现看来是有其内在的原因的。欧洲朝着科学方向发展最明显的历史因素也许就是希腊的唯理论和希腊人遗赠西欧的数学知识。值得注意的是中国虽然有不少世纪在技术方面都比欧洲先进，但是却从未掌握西欧的数学理论基础。没有哪一位中国数学家可以和欧几里德媲美。中国人有很好的实用几何学知识，但是他们的几何学知识却从来未形成推理体系。
    从几个基本物理学定律可以推导出任何其它定律，欧洲人认为这种思想是天经地义的，因为在他们面前有欧几里德这样的权威。一般说来欧洲人并未把欧几里德几何仅仅看作是一个抽象的体系，而是认为欧几里德公理和定律真实地反映了客观世界。
    欧几里德对艾萨克·牛顿的影响尤为突出，因为牛顿的伟大著作《原理》是用“几何”形式，即用《几何原本》相类似的形式写成的。许多不同的科学家都竭力效仿欧几里德，他们试图把自己所有的结论都合乎逻辑地从少数几个原始前提下推导出来。象罗素和怀特默德这样著名的数学家和斯宾诺莎这样的哲学家都做过这种尝试。
    今天的数学家终于明白了欧几里德几何并不是可以设计出来的唯一统一的几何学体系。在过去的一百五十年中，建立了许多门非欧几里德几何学。实际上自从爱因斯坦广义相对论被公认以来，科学家就认识到在客观的宇宙中欧几里德几何并不总是成立的。例如在黑洞和中子星相邻的区域内，重力场非常强，欧几里德几何学不能准确地描述出那个世界的模样，如此看来它也不能把宇宙作为整体来加以正确的描述。但是这些例子很特殊，欧几里德几何学在大多数情况下都能非常逼真地反映客观现实。人类知识的这些新的进展无论如何不能减少凝聚着欧几里德智慧的成就，也不能削弱他的历史意义。

几里德里位古希腊几何学家，凭着一本《几何原本》而流芳千古。虽然像拿破仑、亚历山
大和马钉路德这样的人物，其有生之年的名气要比欧几里德显赫得多，但是，从历史的视
角来看，欧几里德应该比他们要流传久远。
关于欧几里德的生平，我们几乎一无所知。既不知他的生卒年月，也不知其出生地点。我们
只知道他在公元前300年左右是活跃在埃及亚历山大省的一位教师。他的名望主要来自于队
编写的伟大的几何教科书《几何原本》。他还写过几本书，其中有的被保留至今。
《几何原本》中几乎所有的定理和证法在欧几里德以前就众所周知了，但这并不是该
书的重要性之所在。欧几里德的卓越贡献在于他对教材的编排和大纲的制订。
他首先精心挑选出一套定理和公理，接着就按照由浅入深、循序渐进的规律，认真编排这些
定律和公理。他的思路缜密，极具逻辑性，在必要的地方补充了缺少的步骤，提供了不足的
证据。值得注意的是，这本主要内容涉及平面几何和立体几何的《几何原本》，也包含着大
量的代数和数论的内容。
欧几里德编写的这部分臻于完善，勿容置疑是历史上曾经出现过的最成功的教科书。它刚一
问世就取代了所有以前的教科书（使它们很快从人们的记忆中消失了），从此以后一直使用
了2000多年。
《几何原本》最初用希腊文写成，后来被翻译成多国文字。
《几何原本》是严谨的逻辑推理体系的杰作，自问世以来，一直对每一位伟大的思想家都有
巨大的魔力。它起到锻炼人们逻辑思维能力的作用，其影响远远超过了亚里士多德的任何一
篇逻辑论文。
历史学家们普遍认为，欧几里德这部巨著是现代科学崛起的一个重要因素。因为科学不仅仅
是准确的观察和精辟概括的集合体，现代科学的伟大成就一部分是经验论和实验法相结合的
产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物。
因为有欧几里德这样的权威存在，欧洲人认为从几个基本物理学定律可以推导出任何其他定
律，这种思想是天经地义的。一般说来，欧洲人并未把欧几里德几何看成是抽象有体系，而
是认为欧几里德定律真实地反映了客观世界。
欧几里德对伊萨克·牛顿的影响尤其突出，因为牛顿的伟大著作《原理》也是用“几何”形
式，即用与《几何原本》相类似的形式写出来的，许多不同的科学家都竭力仿效欧几里德，
他们试图从少数几个原始的前提下推导出自己所有的结论。像罗素和怀特海这样著名的数学
家和斯宾满莎这样的哲学家都曾做过这样的尝试。
不过，今天已有了许多门非欧几何学，数学们终于明白了欧几里德几何并不是可以设计出来
的唯一统一的几何学体系。在过去的150年中，出现了诸如黎曼几何等非欧几何。本世纪自
爱因斯担的广义相对论被公认以来，科学家们就认识到在客观的宇宙中欧氏几何并不总是成
交的。例如在黑洞和中子星相邻的区域内，重力场非常强，欧氏几何学不能准确地描述出那
个世界的模样。
人类知识的新的进展也许会发现欧氏几何的一些局限性，但是无论如何不能降低凝聚着欧几
里德智慧的成就，也不能削弱他的历史地位。

欧几里德几何

欧几里德几何即是我们在中学当作“几何”学习的学科。然而，我预料大部分人会将其视作数学，而不视作物理。当然，它也是数学。但是，欧几里德几何决不是仅有的可以想得出的数学几何。欧几里德传给我们的特殊几何非常精确地描述了我们生活其间的世界的物理空间，但这不是逻辑的必然——它仅仅是我们物理世界的（几乎准确的）被观察的特征。

图5.1(a)欧几里德空间中的一个三角形。

(b)罗巴切夫斯基空间中的一个三角形。

的确还存在另外称作罗巴切夫斯基（或双曲）的几何①，它大部分方面非常像欧几里德几何，但还具有一些有趣的差别。例如，我们记得在欧几里德几何中任意三角形的三个角的和为180°。在罗巴切夫斯基几何中，这个和总是比180°小，并且这个差别和三角形的面积成比例（见图5.1）。

著名的荷兰艺术家毛里兹·C·伊歇为这种几何给出了一种非常精细和准确的表象（见图5.2）。按照罗巴切夫斯基几何，所有的黑鱼具有相同的大小和形状；类似地，白鱼亦是如此。不能将这种几何在通常的欧几里德平面上完全精密地表达出来，所以在圆周边界的内缘显得非常拥挤。想象你自身位于该模型的某一靠近边界的地方，罗巴切夫斯基几何使你觉得就象位于中间或任何其他地方一样。按照这一欧几里德表象，该模型的“边界”正是罗巴切夫斯基几何中的“无穷远”。此处边界圆周根本不应该被看成罗巴切夫斯基空间的一部分——在圆周之外的任何其他的欧几里德区域就更不是了。（这一罗巴切夫斯基平面的天才表象应归功于彭加莱。它卓越的优点在于，非常小的形状在此表象中不被畸变——只不过它的尺度被改变。）该几何中的直线（伊歇鱼就是沿着其中某些直线画出的）即为与边界圆周作直角相交的圆弧。

我们世界在宇宙学的尺度下，实际上很可能是罗巴切夫斯基空间（参阅第七章376页）。然而，在这种情形下，三角形亏角和它的面积的比例系数必须是极为微小。在通常的尺度下，欧几里德几何是这种几何的极好的近似。事实上正如我们在本章将要看到的，爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在比宇宙学尺度小相当多的情形下，我们世界的几何的确与欧几里德几何有偏离（虽然是以一种比罗巴切夫斯基几何更复杂的“更无规”的方式），尽管这偏离在我们直接经验的尺度下仍是极为微小的。

图5.2罗巴切夫斯基空间的伊歇图。（所有黑鱼和白鱼都认为是全等

http://218.24.233.167:8000/Resource/Book/Edu/KPTS/TS009050/image/72.gif

欧几里德几何似乎精确地反映了我们世界“空间”的结构的这一事实，作弄了我们（以及我们的祖先），使我们以为几何是逻辑所必须的，或以为我们有种先天的直觉的领悟，欧几里德几何必须适用于我们在其中生活的世界。（甚至伟大的哲学家伊曼努尔·康德也作此断言。）只有爱因斯坦在许多年以后提出的广义相对论真正地突破了欧几里德几何，欧几里德几何远非逻辑所必须的，它只是该几何如此精确地（虽然不是完全准确地）适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。

在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象——直线、圆周、三角形、平面等等——在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里——数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学——亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。

柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。

欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。

_{http://218.24.233.167:8000/Resource/Book/Edu/KPTS/TS009050/image/73.gif}

几何陷入了“危机”之中（参阅第三章第94页）。将正方形的对角线，以

_{http://218.24.233.167:8000/Resource/Book/Edu/KPTS/TS009050/image/74.gif}

定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，或两者是否完全相等的判据。

该思想可概述如下：如果a，b，c和d是四个长度，则断定比例a/b大于比例c/d的判据是：存在整数M和N，使得a增大到N倍超过b增大到M倍，而同时d增大到M倍超过c增大到N倍①。可用相应的判据来断定a/b是否比c/d小。所寻求的使a/b和c/d相等的判据也就是前两个判据都不能满足！

直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的抽象的实数数学理论。但是他们的步骤和欧多索斯早在22个世纪以前已经发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在 1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，但希腊人却对此无知。

图5.3托勒密定理

然而，在欧多索斯设想和狄德钦——韦尔斯特拉斯设想之间有一个重大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量（比）的给定的东西，当作“实际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量以及它们的和与积——亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条件。（我在图5.3画出并解释了杰出的托勒密定理——虽然托勒密比欧多索斯要晚许久才发现它——该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。

然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外推，参阅第三章第99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须接受“经验的”几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实（参阅242页）。这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。

欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前300年的《原本》的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具有深刻的意义。

阿基米德（公元前287—212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容易地做到这些。但是我们要知道，这是比牛顿和莱布尼兹最终发现微积分早十九世纪的事！（人们可以说，阿基米德已经通晓微积分的那一多半——亦即积分的那一半！）阿基米德的论证，甚至以现代的标准看，也是毫无瑕疵的。他的写作深深地影响许多后代的数学家和科学家，最明显的是伽利略和牛顿。阿基米德还提出了静力学的（超等的？）物理理论（亦即制约平衡的物体，诸如杠杆和浮体的定律）。他用类似于欧几里德发展几何空间和固体几何的科学方法，将其发展成演绎的科学。

阿波罗纽斯（约公元前262—200）是我必须提及的一位阿基米德的同时代人。他是一位具有深刻洞察力的、伟大的、天才的几何学家。他关于圆锥截线（椭圆、抛物线和双曲线）的研究极大地影响了开普勒和牛顿。令人惊异的是，这些截线的形状刚好是描述行星轨道所必须的！