因数与倍数拓展知识点

1、能被4，8，7， 9，11，13，25，125整除的数的特征

能被4(或25)整除的数，末两位数能被4(或25)整除；

能被8(或125)整除的数，末三位数能被8(或125)整除；

能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．

能被11整除的数，奇数位数字之和与偶数位数字之和所得的差能被11整除；

能被7（11或13）整除的数，一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

2、一个合数的约数个数是分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.

3、约数的和是分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积。

4、完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．

5、两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.

6、如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．

    它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)

    它们的最大公约数与最小公倍数的和为：

    [a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1) 

7、若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；

   若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．

8、求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；

9、求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.

10．整除的性质：

    性质1.如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被C整除．

    性质2.如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．

    性质3.如果b、c都能整除，且b和c互质，那么b与c的积能整除a．

性质4.如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．

11、辗转相除法求质因数的具体步骤如下：

先用小的数除大的数，得第一个余数；再用第一个余数除小的数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除第一个余数，直到余数是0为止，那么最后一个除数就是所求的最大公约数。

12、如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.

13、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

14、判断一个数n是质数还是合数，先找一个大于n且最接近n的平方数k的平方，再写出k以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数，如果这些质数中有一个能整除n，那么n是合数。

15、特殊数的分解：111=3×37  1001=7×11×13  11111=41×271  10001=73×137

1995=3×5×7×19   1998=2×3×3×3×37   2007=3×3×223  

2008=2×2×2×251  10101=3×7×13×37    2007+2008=4015=5×11×73