也许是“三大几何难题"让人绞尽脑汁也难以获解，因而人们长期以来也不敢去涉及角的三等分线问题。自欧几里得之后的几千年内未发现有关角的三等分方面的结果。

然而到1904年，英国著名的代数几何学家莫利却发现了一个惊人的结论，即所谓的“莫利定理”：将任意三角形的内角三等分，则与每边相邻的两条三等分线的交点构成了一个等边三角形（如图5）。结论是这么漂亮、优美，简直难以置信。这一惊人的结果，被誉为自欧几里得以来所发现的最为优美的定理，是初等几何的一颗明珠。

图5

莫利是数学家，他的最后50年是在美国度过的，但他一直未放弃英国籍。1904年，莫利给英国剑桥的一位朋友的信中提到过这个定理，20年后才在日本发表。此期间这个定理再次被发现并作为问题征解出现在《教育时报》上。在送交的众多答案中，纳拉尼恩加给出的证法最为简洁，且是纯几何法。下面我们来介绍他的证法（如图6）。

图6

设△ABC的 ∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ。与BC边相邻的两条三等分分角线相交于X，∠B和∠C的另两条三等分分角线相交于 S，则X为△SBC的内心，从而XS平分∠BSC。

在 SX两侧分别作∠SXZ=∠SXY=30。，Z、Y分别在 BS、CS上，则△SXZ≌△SXY，所以XZ=XY，又 ∠ZXY=60。，所以△XYZ为等边三角形。

下面证 AZ、AY三等分∠A：

分别在 BA、CA上截取BX'=BX，CX"=CX，则△BZX'≌△BZX，从而ZX'=ZX=ZY，同理有YX"=ZY



作△X'ZY的外接圆O，由对称性可知X"在外接圆O上。

易证圆心角∠X'OZ=∠ZOY=YOX"=2α。故∠X'OX"=6α。又因为∠A=3α，所以点 A也在圆0上，又弦 X'Z=ZY=YZ",得AZ，AY为∠A的三等分线，从而命题得证。

莫利定理可进行引申和推广，得到许多优美的结论。如把任意三角形的内角三等分线改为外角三等分线，则与每边相邻的三等分线的交点构成了一个等边三角形。

把内角外角的三等分线结合起来，则有：每一内角的两条三等分线与不相邻的外角四条三等线中与每边相邻两线的交点构成了一个等边三角形。

更有趣的是1939年法国数学家勒贝格在他的一篇论文中指出：在三角形的所有三等分线中，可以找出27个点，它们都是等边三角形的顶点。

有兴趣的读者，您不妨去仔细品味定理的内容，探索各种证法与推广，一定能使您在精神上得到巨大的享受。