1. 布尔查诺定理（零点定理）

如果一元连续函数在连续的闭区间a≤x≤b上，对x的某个值它是正的，而对另一个值它是负的，那么必定有x的某个中间值使函数值为零。

这样，若当x由a变到b时f(x)是连续的，且f(a)＜0，f(b)＞0，那么在a和b之间存在x的一个值α，a＜α＜b，使f(α)＝0。布尔查诺定理完全符合连续函数的直观观念，即如果一条连续曲线要由x轴下面的一个点，到x轴上面的一个点，那么这条连续曲线必然在某一处穿过x轴。

2. 维尔斯特拉斯极值定理（最值定理）

如果函数在一个区间I，a≤x≤b上连续（包括区间的端点a和b），那么在区间I内必然至少存在一点，在这点f(x)取得最大值M，而且有另一个点，使f(x)取得最小值m。也就是连续函数a＝f(x)的图像必然至少有一个最高点和一个最低点。

如果函数f(x)在I的端点不连续，那么这个命题不一定正确。例如，函数f(x)＝1/x在整个区间0＜x≤1内部是连续的，但在此区间上f(x)却没有最大值。

一个不连续函数也不一定有最大值或最小值。例如，在区间0≤x≤1上，定义

f(x)＝x          当x是无理数，

f(x)＝0.5        当x是有理数，

考虑这个很不连续的函数f(x)。这个函数取值总在0和1之间。事实上，如果选择x为充分接近0和1的无理数，那么函数值可以任意接近于0或1。但是，f(x)不能等于0或1，因为对于有理数x，有f(x)＝0.5，而对于无理数，有f(x)＝x，所以0和1都不能达到。