摘要：本文通过数的集合，利用逻辑推理判定所求整数间的关系。首先提出命题N，然后通过求偶数对应的互质解使命题得证。所求解的结果反映了质数两两相加和质数相乘的内在联系。

关键词：集合 元素 偶数 互质数 质数

求证：全体大于2的偶数都可以表示为两个质数和的形式，代数形式为2A＝B＋C；2A＝B＋B；（A为大于1的整数，B、C为质数）

1 定义命题N：由整数组成的集合，若全体大于2的偶数可以由集合内元素经过四则运算得到，则该集合内经运算等于某一偶数的元素组成的集合称为该偶数对应的解；该集合称为全体偶数对应的解。

说明：进行四则运算时，任一元素在运算过程中都可以无限次使用。以元素相乘为例：

  （1）由大于1的正整数构成的集合  中，2×4=8；2×2×2＝8（2自身相乘）。所以，8对应的解为｛2，4｝。

   (2) 合并每个偶数对应的解（集合）。即得全部偶数对应的解。

2 求命题N的一个解满足以下两个条件：

（1）全体大于2的偶数都可以表示为集合内两个互质数元素之和或某一质数自身相加的形式。代数形式为：2A＝B+C;2A＝A+A

（2）全部大于2的偶数都可以表示为集合内元素相乘的形式。

3 求解过程

当集合元素为全体大于1的整数时，通过去掉集合内的部分元素求解。

（1） 因元素相加是否是互质解是对应于偶数而言的，所以首先去掉每一个偶数对应的解的部分元素。

（2）  每一偶数对应的解中可以去掉的元素为：去掉该偶数的质因数的整倍数元素（因为满足所求的条件（1）时，这些元素不能表示为该偶数的两质数元素和或两互质数元素和的形式；满足所求的条件（2）时，该偶数表示为其质因数元素相乘的形式即可）。合并每个偶数对应的解即得全体偶数对应的解。

（3） 当集合中元素相乘时，根据（1）和（2），每一偶数对应的解为：

6的解为｛2，3｝，去掉6的质因数的整倍数元素后解为｛2，3｝

8的解为｛2，4｝，去掉8的质因数的整倍数元素后解为｛2｝

1０的解为｛2，5｝，去掉10的质因数的整倍数元素后解为｛2，5｝

……

每一偶数的解去掉其质因数的整倍数元素后剩余的元素为该偶数的质因数。即全体大于2偶数对应的解为全体质数。其解合并后得到集合｛2，3，5，7，11……｝。

4  结论

因为求得的解为全体质数，所以质数两两相加或自身相加可得全体偶数。即：全部大于2的偶数都可以表示为两个质数和的形式，即2A＝B＋C或2A＝B＋B（A为大于1的整数，B、C为质数）。

用集合形式表示运算过程如下：

       1 全体大于2偶数对应的解为：{x|x∈全体大于1的整数}

       2 去掉一部分元素后对应的解为：A1-{X|X∈A1的质因数的整倍数元素}+A2-{X|X∈A2的质因数的整倍数元素}+…         

         （A1、A2、A3……分别为大于2的偶数对应的解）

       3 当运算规则为集合内元素相乘时，全体偶数对应的解为：{X|X∈A1的质因数}+{X|X∈A2的质因数}+…  ={X|X∈全体质数}       

 注：文中所提的整数倍数元素均是大于等于2倍的整数倍数元素。

                                                                    2012-3-6