摘要：本文通过数的集合，利用逻辑推理判定所求整数间的关系。首先提出与所证命题有关的一个数学命题N作为已知条件。然后通过求偶数的互质解使命题得证。求解过程体现了部分（每一偶数）和全体（全部偶数）因集合建立的对立统一关系。所求解的结果反映了质数两两相加（减）和质数相乘的数量间内在联系。

关键词：  集合 元素 偶数 互质数 质数

求证：全部大于4的偶数都可以表示为两个质数和（差）

的形式，代数形式为2A＝B＋C；2A=B－C；2A＝B＋B；（A为任意大于2的整数，B、C为质数）

一  首先求证任意偶数可表示为两个质数和的形式：

1 已知条件

定义命题N：由任意大于1的不同的正整数组成的集合，若全部大于4的偶数都可以由集合内元素经过一定运算规则得到，则该集合称为在该运算规则下全部偶数对应的解；该集合内所有经运算等于某一偶数的元素组成的集合称为该偶数对应的解。

说明：进行四则运算时，任一元素在各种运算过程中都可以无限次使用；集合内无相同元素。以元素相乘为例：

     （1）任一元素都可以无限次乘以包括该元素在内的集合内任意元素。由大于1的正整数构成的集合中，因为：

        2×4=8；2×2×2＝8（2自身相乘）。所以，8对应的解为｛2，4｝。同理，1０对应的解为｛2，5｝

（2）偶数对应的解（集合）中如有相同元素，只保留一个元素（因任一元素可以无限次自乘）。即：集合中无相同元素。

(3) 合并每个偶数对应的解（集合），然后去掉合并后集合内相同的元素（因元素自身可以相乘，因而相同元素只保留一个即可满足命题要求）。这样，合并后的由不同正整数元素构成的集合即是全部偶数对应的解。

2　求N的一个解

求N的一个解，使得全部大于4的偶数都可以表示为集合内两个互质数之和或某一质数自身相加的形式。代数形式为：2A＝A+B;2A＝A+A（A为大于2的正整数，A、B为大于1的正整数）。

3　证题依据及过程

证题依据：

当集合为全体大于1的正整数时，该集合为命题N中全部偶数对应的所有的解合并后构成的集合。所以可以通过去掉集合内的部分元素求解，

（1）         欲求一个全部偶数对应的满足条件的解，先确定哪些元素可以去掉，即确定一个求解的充分条件。因元素相加是否是互质解是对于某个偶数而言的，所以首先去掉每一偶数对应的解的部分元素，合并后再求全部偶数对应的解。

（2）        每一偶数对应的解中需要去掉的元素为该偶数的质因数的大于1的整倍数元素（因为这些数不能表示为该偶数的两质数和或两互质数和的形式。质因数的整倍数元素是指质因数的大于1的整数倍数元素）。

（3）   由（1）和（2）可以得知：“每一偶数对应的解中，去掉该偶数对应的质因数的大于1的整倍数元素，然后合并每个偶数的解得到一个集合”即是“所得集合为欲求的解”的充分条件。

例如：对于偶数10，其质因数为2和5，在其解中，质因数的整倍数元素为：4，6，8。2＋8＝10（2和8有公约数2，不是质数和也不是互质数和的形式）；4＋6＝10（4和6有公约数2，不是质数和也不是互质数和的形式）。所以可以去掉4，6，8三个元素。但不可以去掉2和5，因为2和5是10的质因数，而5＋5＝10为质数和的形式，所以不能去掉质因数。

（4）　当集合中元素相乘时，根据（1）和（2），每一偶数对应的满足条件的元素为：

6的解为｛2，3｝，去掉6的质因数的整倍数元素后解为｛2，3｝

8的解为｛2，4｝，去掉8的质因数的整倍数元素后解为｛2｝

1０的解为｛2，5｝，去掉10的质因数的整倍数元素后解为｛2，5｝

……

每一偶数的解去掉其质因数的整倍数元素后剩余的元素为该偶数的质因数。其解合并后得到集合｛2，3，5，7，11……｝，即所求的解。

用集合形式表示运算过程如下：

1 命题： 2A对应的解为：{x|x∈自然数}=A1+A2+A3+…

2 满足充分条件：2A对应的解为：A1-{X|X∈A1的质因数的倍数}+A2-{X|X∈A2的质因数的倍数}+…

3 当运算规则为集合内元素相乘时，2A满足充分条件后对应的解为：{X|X∈A1的质因数}+{X|X∈A2的质因数}+…

4 2A={X|X∈全体质数}

4  结论

。

因为求得的解为全体质数，所以质数两两相加或自身相加可得全体偶数。即：全部大于4的偶数都可以表示为两个质数和的形式，即2A＝B＋C或2A＝B＋B（A为大于2的整数，B、C为质数）。　

二  同理可证任意偶数可表示为两个质数差的形式。

由一和二可知任意偶数都可以表示为两个质数和及两个质数差的形式。所证明题成立。