38、河洛与术数

我国对于数的研究，已有5000年历史了，古代结绳记事，垒石记事，就是算术的开始，特别进入农耕社会以后，天文、历象的发展，古人总结出了河图、洛书，这可以是独特的电子计算机，也是易数原理的大本营。

术数一词，始见于管子书中，《管子·形势解》有“言词动作，皆中术数。”《素文·上古天真论》也提到这个名词，说：“法于阴阳，合于术数。”《汉书·艺文志》的七略中就有“术数略”。中国的术数之学，皆源于河洛。至于术数之含义，一说术者道也，有法则或规律之义；数指数理，包括了算术及律历、方圆等算法及其原理。一说为法制、技艺、用兵及权谋之术，为引申义。河洛图式，一方一圆，构思极为精妙。邵雍说：“圆者星也，历纪之数，方者土也，画州并地之法，其仿于此乎。盖圆者河图之数，方者洛书之文。”由此可见，术数出于古代天文、地理、律历、水经、医学，而河洛数则为它们的概括和总结。河洛数就是易数的本体，为中国数学之祖，启发和帮助了不少的中外学者，提前完成了他们的科学研究，它的秘密是耐人寻味的，它像一部组合解析学。

从我国商代开始，已发明了十进位算法，印度在公元6世纪，才采用十进位的算法。《后汉书·律历志》指出：“古人之论数也，曰物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。然则，天地之初形，人物既著，则算术之事生矣。记称大挠作甲子，隶首作数，二者既立，以比日表，以管万事。”这就是关于数的起源的论述。商代算盘以空白地位表示“零”数，早印度1300多年。我国现存的一部最早的天文数学专著《周髀算经》，传说为3100年前商高和周公研究数学的对话，春秋战国也有学者补充。从汉代开始至少 赵君卿、甄鸾、信都芳、李淳风、李绩为它作注。髀，兽骨，古代用以记数。周髀，乃测天仪器，立八尺标杆，地平有尺度表，以察日影长短，夜间以南中线为准，面北而命其位，以观天象。以髀为骨，表为勾，线为弦，勾三股四弦五的算法就从此开始。还有二四七又一四六零之九三三的分数法记载。又“千里一寸”的方格法计算，周髀以方格代表一百里，公元1137年才传至西方。还有圆周率算法、代数学的记载。《九章算经》则是较早的一部数学著作，传说黄帝命隶首作九章，本书至迟亦为周公时代作品，《周礼》列为六艺之一科，大约等于公元12世纪。历代术数家多有注释。书中已涉及了比例法，分数、弦图证法、勾股测量、圆周率求法、虚位法等。《孙子算经》总结了孔子以来的大衍策算法，也称大衍求一术，如孙子数物题有：“今有物，不知其数，二三数之賸二，五五数之賸三，七七数之賸二，问物几何？”西方以前用几个连立工程式，现在用全等式表示，世界上定名为“余数定理”，传说韩信曾用来作点兵之法，得到了“韩信点兵，多多益善”的誉称。公元2世纪的西汉年间，已用筹码作正负数算法，以红筹表示正数、黑筹表示负数，这种思想来源于河洛的生成数。公元3世纪赵军卿注《周髀算经》作弦图证明。公元12世纪西方柏斯卡拉一模一样照抄赵氏之图，我国提出弦图证法早西方1000年。《周髀》、《九章》、《周礼考工记》都使用了“周三径一”这一圆周率近似值。此后汉人刘歆求出3.154的歆律，魏人刘徽把圆内切正多角形分成3072边的多角形，求出3.14159的精密值，南朝人祖冲之作《缀术》一书，世界上第一个精确地推算出了圆周率是3.1415926和3.1415927之间，这不仅阐明了圆周和直径的关系，还把天文和数理相关的重要问题解决了。汉代以前的珠算法，更比西方的加法器高百倍。公元475年，《张邱建算经》提出了不定方程式，这种方程式西方在牛顿时代才出现。唐代和尚张遂以大衍数作新历验日月蚀。宋代秦九韶作《数学九章》，杨挥扩大河洛的方阵图，一笔作几何法。元代朱士杰作《四元玉鉴》，明代有刘士龙《数学诗》，还有朱载育动用开方法，以等比级数分配律管刻度，一正前人音律法之失。清初贾宪将“十二画乘方图”传到了欧洲。以上术数之学，都是在河洛数理的基础上发展起来的。

易数的秘密是耐人寻味的，易数主要为河洛数，它是中国术数学之祖。术数意味着不仅是数字的推算，还包括了提高数性的研究，如《哥德巴赫猜想》之类。有个外国人在程度作学术报告，他和中医闲谈时说：“中医治病有奇特疗效我很折服，但理论上缺乏数字依据，我研究学术最大的成功就是都有数字依据”。一位中医回答他说：“中医的很多数据，从很古的年代起就已提高到数性的程度，实际上中医学的十二经气血多少、五十营、卫气行都是有数据的，不一定一二三才是数，密度、比重都是数，不同的事物必须用不同的数来表示。举例你的夫人很美，你能给她打多少分；你女儿正在热恋，你能算出她们热恋到多少度吗？”古人观察自然时，对有象可察的，则可描述其形容，象征其物体，以卦象表示之，这就称为象，并可通过象所表示的线索去推考它的数理。因此，古人又把易学称之为象数之学。现将河洛有关术数分论于下。

第一节 河图与洛书

河图从大的数量来说，涉及了天地数、生成数、大衍数、万物数、几何算法等，牵涉的面积很广，现分项解说如下：

一、天地数

天地数即河图的十数相加，合计五十五数，此数乃本《周易·系辞传》而来。如《周易·系辞传》说：“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。天数五，地数五，五位相得，而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”因天地之道，孤阴不生，独阳不长，本于五星而来的五行之数，乃是天地变化最基本的数，必须天地相合，五位相得，乃能成其变化，贯彻始终。河图十数，以奇数为阳，偶数为阴，奇数得阳而合，偶数得阴而居。现将天地阴阳自然之数相加如下，则见河图五十五的来源了。

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25  （天数五）

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 （地数五）

25 + 30 = 55 （天地数）

由此可见，河图这部古老的电子计算机，亦分阴阳两系，合于天地之五十五数，故可以“成变化而行鬼神也。”

二、生成数

河图以五乘数统五乘数，只言五，不言十，因数至十，即变为一，故本自然之理，以五为基数，因万物皆可纳入五行中。河图十数，以一二三四五为生数，这是根据天象五星皆随之运转而变化，万物皆随五气之推移而生长，故将此五数命为生数，在此五生数的基础上，递加之数则为成数。如五加一为六，六即为一的成数；五加二为七，七即为二的成数；五加三为八，八即为三的成数；五加四为九，九即为四的成数；五加五为十，十即为五的成数。正负数的算法即由此而产生，前者的生数相当于正数，后者的成数相当于负数。生成数的性质可以随时位变化而变化，生成数的基本数是五，所以一切事物皆可按照五行的规律取象比类。五为万物生生之数，为正数，而五以外的一切数，皆为成数，为负数，为推衍之数了。现以河图十数为例，以五成数各减去生数五，则为负一、负二、负三、负四、负五了，由于正负数是相反相成的，故曰生成数。

易卦阳爻何以用九，阴爻何以用六？前人认为，这些都本河洛的生成数而来，质言之，都本一二三四五的基本数而来。因为这五个数以外的一切数，都是在这个基数上的推衍。这五个基本数亦以奇偶分阴阳，《周易》六十四卦阳爻皆用九，是因为九为五数中一、三、五之合，阴爻皆用六，是因为六为五数中偶数二、四之合。宋代易学家朱熹说：“其九者，生数一三五之积也”；“其六者，生数二四之积也。”后人对《周易》用六、用九虽有各种解释，都以此说为正，因五生数才是一切数的基本数，以下十百千的数理变化，皆在这个基础上所产生，古人以五行类属万事万物，皆本此数理而来，所以，《周易·系辞传》总括地说：“参天地而倚数”。即言一切数，皆从此三个天数一三五和两个地数二四为基点进行推算，这是中国数理的最上乘。

三、大衍数

大指大禹，衍即行水。即言大禹运用这一数理作治水的测量计算。生成数是以阴阳合五行，大衍数则以天地合五方，用五基数定五方之位，故将河图的五十五数，只用五十数，用勾股弦法作图求证、测量计算等。《周髀算经》说：“禹治洪水，始广用勾股弦，故称其数为大衍数。”《周易·系辞传》说：“大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，卦一以象三，揲之以四以象四时，归奇于仂以象闰，五岁再闰，故再仂而后卦”。大衍之数五十，即勾股弦三方相乘之积，勾幅弦起源于标杆测影之法，以竿为股，地下标尺为勾，勾股之斜面为弦，其数字比例是勾三、股四、弦五，三者之数分别相乘，然后加在一起，则得五十之数，现列算式如下：

（3 X 3） + （4 X 4） + （5 X 5）  =50

其用四十有九，是在测量时一种消除误差的方法，即起点不算。分而为二以象两，即太极生两仪，在自然则为阴阳，在数理则为奇偶、正负，仪之倍数则衍为乘方，阴阳与五行相乘则为三十二卦，乾坤与六子相乘则为六十四卦：

2^5  = 2 X 2 X 2 X 2 X2 = 32

2^6  = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 =64

卦一以象三，指太极含三为一，也即天地人三才。揲，屈指也，揲之以四，是说屈四个指头以象四时，也即两仪生四象。奇，余数也；仂，小指也。指再将四时的余数以小指记之，以积成闰月，五岁中有两个闰月，可以另一手的小指记之，这一段是交代历数的来源和计算法，也运用于治水的测算，因为古代天象、律历、水经、画州并地都通用这种算法。

四、万物数

万物数本策算而来。策，就是用蓍草制成的筹码，计策即计算筹码的多少，此法在结绳计事前后就有了，又称积算。万物数之名出自《周易》，如《周易·系辞传》说：“乾之策，二百一十有六，坤之策，百四十有四，凡三百有六十，当期之日，二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。是故，四营而成易，十有八变而成卦”。乾之策，包括六十四卦整个阳爻的数目，坤之策，包括六十四卦整个阴爻的数目。策在此代表爻数；当期之日，指一年360日，即周天360度，恰合乾坤二篇360之策数。但每年的实际历数为365度有余，在历法上必以置闰法消除之。古代消除闰余差度之法，以坎离震兑四卦的二十四爻演二十四气，合于六十四卦三百八十四爻，即三百八十四策，恰当闰年13个月的略数，但必推至11520策之数，乃能将闰余的误差完全消除，故曰：“万有一千五百二十，当万物之数也。”万物数是怎样演算出来的，乃通过“四营而成易，十有八变而成卦”的方法，现运算如下：