0.4 概念、命题、推理

概念有种种定义，这里把概念定义为认识对象的一般个别性质与集合的知识空间结构第一层次的思维方法。

概念有内涵与外延。关于概念的内涵也有种种定义，这里把概念的内涵定义为关于对象的性质。

什么是性质？性质有广狭含义。狭义的性质指的只是属性的一种，属性的另一种是关系。广义上的性质，张华夏教授说过：“性质是一个非常广泛的范畴，凡能表示一个实体的属性、关系、功能、行为、状态等等，我们都称为性质。”(11) 这里的性质的含义，取广义上的含义。

事物有多种性质，但只有一种性质是共同的，这个共同的性质就是一般性质。事物除了有共同性质外，还有非共同性质。非共同性质就是个别性质。

事物是否有这样的两个性质呢？问答是肯定的。例如，男人的一般性质是能思维能制造劳动工具的动物，或者说有理性的动物；其个别性质就是男性生理特征和心理功能。再如，中国工人的一般性质是，从事生产劳动和以工资收入为生活来源的人；其个别性质为，中国国籍。

必须指出，个别性质也有广狭义之分，狭义个别性质与一般性质相斥，广义个别性质含有狭义的个别性质，也含有一般性质，所谓一般存在于个别之中是也。这里所说的个别性质指的是广义个别性质。

关于概念的外延也有不同的见解，这里把概念的外延定义为关于对象的集合。对象的集合就是对象的整体。例如，工人概念的集合就是工人的整体，中国工人的集合就是中国工人的整体。

集合有个别集合。一个个体集合就是一个论域的最小整体。例如，张三为一个个体集合，因为张三是最小整体，所以张三是个体集合。一个最小的整体，就是说不能再划分为这个论域的更小的整体的东西了。如果硬是要划分的话，划分的结果已不是整体而是部分了。如张三再划分为更小的东西时，已是残肢碎块了，但这已不是“人”，而是尸首了。

集合有全集合，全集合指的是在一个论域中最大的整体。例如，在人这个论域中，“人”就是一个全集合，因为她包含中国人、美国人、现在的人，过去的人，将来的人等等。

集合有具体集合。具体集合指的是两两相交为空的集合。例如，牛集合与羊集合两两相交为空，所以牛与羊集合为具体集合。再如，鱼集合与虾集合两两相交为空，所以鱼与虾集合为具体集合。

集合有子集合。子集合是一个论域中的所有集合。设有具体集合为A，所有子集合的个数为M，有

           M＝2A

若A为2，有22＝2×2＝4

若A为3，有23＝2×2×2＝8

若A为4，有24＝2×2×2×2＝16

若A为5，有25＝2×2×2×2×2×2＝32

……………………………………………

子集合包括一个全集合，一个空集合。空集合这里用k表示。非全集合，指的是除开全集合的所有子集。非空集合指的是除开空集合的所有子集合。真子集合是除开全集、空集的所有子集合。例如，设具体集为a、b、c，所有子集有

    a、b、c、ab、ac、bc、abc、k。

abc为全集，k为空集。非全集合是

    a、b、c、ab、ac、bc、k。

非空集合是

    a、b、c、ab、ac、bc、abc。

真子集合是

    a、b、c、ab、ac、bc。

所有子集合也称为幂集。

概念的内涵与外延有反比关系：若概念的内涵越少，则其外延越大；反过来，若概念的内涵越多，则其外延越小。换句话说，若性质越小，则集合越大，若性质越多，则集合越小。

什么是命题，关于命题也有不同的见解。这里把命题定义为认识对象的由概念组成的有或真或假或可真可假真值的知识空间结构第二层次的思维方法。

命题是由概念组成的吗？是的，例如：

人是理性动物。   （1）

有些人不是中国人。（2）

上命题（1）中的“人”，“是”，“理性动物”都是概念。

上命题（2）中的“有些人”、“不是”、“中国人”都是概念。

命题有或真或假的真值，这里人们一致的看法，但命题除了或真或假的真值外，还有没有可真可假的真值吗？回答是肯定的。例如，前述相斥对应中有

若a∈b，b∈c真，则a∈c可真可假。（非传递性）

若a∈b，b∈c真，则c∈a可真可假。（非回旋性）

上述a∈c与c∈a都是命题，也有可真可假，故可真可假在命题中是客观存在的。

既说可真又说可假，这是否为一矛盾呢？不是，因为这里的可真与可假是针对不同的对象说的。例如

若马∈牛，牛∈羊真，则马∈羊真，

若马∈牛，牛∈马真，则马∈马假。

前例之所以为真，是因为马既斥牛也斥羊；但后例马斥牛却不斥自身，所以为假。再如

若鱼∈虾，虾∈螺，则鱼∈螺真，

若鱼∈虾，虾∈鱼蟹，则鱼∈鱼蟹假。

前例因为鱼不是虾，也不是螺，所以为真；但后例鱼却被含于鱼蟹中，所以为假。

命题有很多种类，也有很多分类方法。有一种分法是先把命题分成简单命题，复合命题两类，然后在简单命题中分为性质命题、关系命题两类；在复合命题中分为联合命题、选言命题、假言命题、负命题、模态命题五类。

计算化语言逻辑以计算式为标准，将命题以（1）、（2）、（3）、（4）……式表示。

所谓（1）式，指的是形如下列这样的式：

（一）aHb

（二）aDbDc

（三）aYbYc

其中abc为集合，H为变换，包括对应D，运算Y。

（一）有a～b，a∈b，a b，a b，aúb，a－b，a∧b，a∨b

（二）包含下列式

a～b～c    a∈b～c    a→b～c    a←b～c    a☆b～c

a～b∈c    a∈b∈c    a→b∈c    a←b∈c    a☆b∈c

a～b→c    a∈b→c    a→b→c    a←b→c      a☆b→c

a～b←c    a∈b←c    a→b ←c    a ←b ←c     a☆b←c

a～b☆c    a∈b☆c     a→b☆c     a←b☆c     a☆b☆ｃ

（三）有

a－b－c   a∧b－c   a∨b－c

a－b∧c   a∧b∧c   a∨b∧c

a－b∨c   a∧b∨c   a∨b∨c　　　等等

所谓(2)式，指的是形如下列的式：

（四）(aYb) D p

（五）s D (x Y y)

其中a b p，s x y为集合，Y为运算，D为对应。

（四）有

a－b～p   a∧b～p   a∨b～p

a－b∈p   a∧b∈p   a∨b∈p

a－b→p   a∧b→p   a∨b→p 

a－b←p   a∧b←p   a∨b←p 

a－b☆p    a∧b☆p   a∨b☆p  

（五）有

s～x－y     s～x∧y     s～x∨y

s∈x－y     s∈x∧y     s∈x∨y

s→x－y     s→∧y     s→x∨y

s←x－y     s←x∧y     s←x∨y

s☆x－y     s☆x∧y     s☆x∨y

什么是推理？推理是认识对象的由命题组成有前提结论的知识空间结构第三层次的思维方法。

什么是前提？什么是结论，所有前提与结论都是一种命题，但前提是推理的出发点命题，是结论成立的根据命题，而结论是推理的结果命题。通常称为公理、原则、定义（定义有时已是推理）等的命题是前提，而称为定理的命题是结论。当然作为一结论的定理也可以作为另结论的前提。至于定理下面标明的证明，其实就是一推理过程。

在传统逻辑中，推理分为演绎推理，归纳推理和类比推理。演绎推理是前提蕴涵结论的推理，若前提为真，即结论必真，故称为必然性的推理。这种推理有从一般到个别的推理。设a为前提，b为结论，即这种推理可用计算化语言逻辑的公式表示为a～b或a→b。归纳推理是从个别到一般的推理，若前提真，结论未必真，故称为非必然推理。设a为归纳推理的前提，b为归纳推理的结论，即这种推理用计算化语言逻辑的公式表示为a←b。类比推理也是一种非必然性的推理，是前提与结论有相交非空可能的推理。设a为类比推理的前提，b为类比推理的结论，即这种推理用计算化语言逻辑的公式表示为a☆b。

在演绎推理中，还可以再分类，一种划分方法是先划分为模态演绎推理与非模态演绎推理两类，然后在非模态演绎推理中又再划分为简单命题推理，复合命题推理两类。在简单命题推理中又可以划分为性质命题推理、关系命题推理两类。在性质命题推理中，又划分为直接推理与间接推理两类。在直接推理中有换质法、换位法、换质位法、附性法的推理，在间接推理中有三段论的推理。

复合命题推理有假言推理、选言推理、联言推理、二难推理。

从计算式的角度也可以对推理进行分类。计算化语言逻辑主要把推理分为无序集合与有序集合两大类，然后在各自的大类中再分小类。

无序集合的大类有小类：

（一）从三个集合已知的对应前提中变换未知的对应结论。例如

（1）若a～b～c为真，则a～c为真。

（2）若a∈b←c为真，则a∈c可真可假。

                  　　　 　Ac可真可假。

                   　　　　A←c可真可假。

             a～c为假。

             　　　　　　  A→c为假。

（二）从三个集合已知的对应前提中，变换未知的对应结论的推理。例如

（1）若a～b，a－b～p为真，则仅有a∈p，b∈p为真。

（2）若a←b，a∧b～p为真，则仅有a～p，b→p为真。

（三）从三个集合已知的对应前提，变换未知的运算与对应结论的推理。例如

（1）若a～b，a～p，b～p为真，则a－b∈p为真；a∧b～p为真；a∨b～p为真。

（2）若a∈b，a∈p，b→p为真，则a－b∈p为真；a∧b～p为真；a∨b→p为真。

（四）从四个集合已知的对应与运算中，变换未知的对应结论的推理。例如

（1）若a～b，x～y，a－b～x－y为真，则仅有a～x，b～y；a∈x，b∈y；a→x，b→y；a←x，b←y；ａ☆x，b☆y可真。

（2）若a～b，x～y，a－b∈x∧y为真，则仅有a～x，b～y；a∈x，b∈y；a→x，b→y；a←x，b←y；a☆x，b☆y可真。

（五）从四个集合已知的对应前提中，变换未知的运算对应结论的推理。例如

（1）若a～b，x～y，a～x，b～y，则仅有下列

a－b～x－y为真，a∧b∈x－y为真，a∨b∈x－y为真，

a－b∈x∧y为真，a∧b～x∧y为真，a∨b～x∧y为真，

a－b∈x∨y为真，a∧b～x∨y为真，a∨b～x∨y为真，

等等。

以上所说的几种推理，只是无序集几种基本式的推理，这些基本式虽然只有三个四个的集合，但由基本式可以扩充到任意个集合。

有序集合的推理可以分为二个、三个、四个、五个……集合前提的推理。更详细的分类，这里略。