王金战数学第2讲：反思“曹冲称象”，对解题过程的优化

相传曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢?”由于当时没有这么大的秤杆，又没有现代化的仪器，怎么办？

曹操的众多谋士就提出了不同水平的“问题解决”．

这时有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了．曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止．最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了．

我们来从数学解题层面上分析曹冲的“问题解决”过程，可以形象地绘出下面的转化图（如图）：

一头大象————一堆石块

?                ↓

大象重量————称出石块总重量

这个过程主要有两个步骤：

第1步，把“整体”的大象对应为等价物：“零散”石头(化整为零);

第2步，称一小块一小块石头，得出大象的重量(集零为整)．

请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．（这里有一个思维亮点：通过物理知识找出等价物）

现在我们再进一步反思曹冲方案．曹冲方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的．大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?

就此，我曾在一个数学活动课上跟学生进行了如下的对话．

教师：假如我们这块地方是个平地，全是黄土，没有石头，你怎么办?

学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量．

教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?

学生：用电子秤直接称大象．

教师：这不行，不能改变当时的技术条件．

学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．

这段反思发现这个办法确实比曹冲的强．可以得出3个启示：

①即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．

②注重解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来．

③找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，参与交流的学生无非是“找回被浪费的重要信息”．

下面是一个学生袁宵亮向我请教的一道一元二次方程试题时的交流实录，我愿意跟大家分享互相交流的心路历程：

例1  设x₁、x₂ 是一元二次方程x²+4x－3＝0的两个根，2x₁(x₂²+5x₂－3)+a ＝2，则a＝     ．

袁宵亮同学感到求解有困难，向我请教：“老师，这里x₁，x₂能求，但求出来不是有理数根!走这条道路显然运算量会很大，且要花费大量时间，我觉得这样的思路好像行不通？”

很显然，他在常规解法“先求方程的根，再代入求值”思路上发生了困难，能够知难而退，懂得求助，我首先肯定了他的质疑精神，为了能一步步引导他自己发现思路，我先问：

“你认真观察2x₁(x₂²+5x₂－3)+a ＝2的特点，有何发现？”

他观察了一会，“小括号内跟x₂代入方程得到的x₂²+4x₂-3＝0有点相似，但一次项系数不同．”

“很好，能把x₂²+5x₂－3改写一下吗？”

他想了一下，“x₂²+5x₂－3＝x₂²+4x₂+x₂ -3”，说到这儿，突然眼前一亮，说“有了，有x₂²+4x₂-3＝0，变形得x₂²+4x₂＝3，代入2x₁(x₂²+4x₂+x₂-3) +a ＝2，于是2x₁·x₂+a＝2，再结合根与系数的关系，代入求出应该能求出a了.”

我向他竖起大拇指，“一下子走到头了，祝贺！写出来我看看．”

他迅速表达如下：

变形x₂²+5x₂-3＝x₂²+4x₂-3+x₂，

由一元二次方程的定义有x₂²+4x₂-3＝0，变形得x₂²+4x₂＝3，

代入2x₁(x₂²+4x₂+x₂-3) +a ＝2，

于是2x₁·x₂+a＝2，

由根与系数的关系，x₁·x₂＝-3，代入求出a＝8.

看着他长嘘一口气，一种解题的愉悦流露在面容．我认真看了他演算的过程，暗示他过程中仍然有“思维回路”值得优化，他疑惑的观察了一会，重新写出比较精减的过程如下：

变形x₂²+5x₂-3＝x₂²+4x₂-3+x₂，

由一元二次方程定义有x₂²+4x₂-3＝0，

代入2x₁(x₂²+4x₂-3+x₂) +a ＝2，

所以 2x₁·x₂+a＝2，

再由根与系数的关系，x₁·x₂＝-3，

即a＝8.

我随即在他“完美”的解答上点评：这里有目的地变形，特别是对“x₂²+4x₂-3＝0”的整体认识，使得问题获得突破．

看着他满意而兴奋的离去，我暗自庆幸：授人以鱼，不如授人以渔！

本文节选自《数学是怎样学好的》（初中版）

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