加载中…[原创]e^π与π^e，谁大谁小？
(2021-02-17 09:31:51)
标签：
比较大小泰勒级数 |
分类： 代数 |
e^π与π^e，谁大谁小？
大罕
解法一：利用计算器，可得e^π=23.14，π^e=22.46，可见e^π>π^e．
解法二：如图，作指数函数y=e^x和幂函数y=x^e的图像，描出点(π, e^π) 和(e, π^e)，由图可知e^π>π^e．(见附图)
解法三：求导法．转化为比较lne^π与lnπ^e，即π与elnπ的大小．即求π-elnπ与0的大小关系．为此令f(x)=x-elnx，则f'(x)=1-e/x， 从而可知f(x)最小值为f(e)=0，所以f(π)＞f(0)，故有e^π＞π^e．
基于无理数e的定义：当n→∞时，lim(1+1/n)^n=e，我们还有
解法四：e =lim(1+1/n)^n，⇒ e^x =lim(1+x/n)^n⇒ e^x>(1+x/y)^y,
令x=π-e, y=e，则有e^(π-e)>[1+(π-e)/e]^e，
⇔e^(π-e)>(π/e)^e，⇔e^π>π^e.
若用更“高级”的工具，可用泰勒级数来解，
解法五：我们知道：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!+…，
则当x>0时有e^x>1+x，取x=π/e-1，
⇒e^(π/e)>π, ⇒ e^π>π^e.
喜欢
0
赠金笔
前一篇：[原创]不教何以学好
后一篇：三个平面可以把空间分成多少部分？