大罕

   有一道立体几何题：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为2√3/3的点的集合形成一条曲线，求这条曲线的长度．

   此题在网上有解答．多数解答没有给图，空对空叙述一番．懂者不看也懂，不懂者看了解答依然不懂．个别解答给了略图，或者有错，或者丑陋，于事无补．

   这里我们给出详细的解答．

   为方便理解，先给两个真命题：

   命题1：平面α内有一定点A，若α内动点P到A的距离为定长m，则P点轨迹是以A为圆心、以定长m为半径的圆．如图1．

   命题2：平面α外有一定点A，点A在α内射影为A1，若α内动点P到A的距离为定长m(m大于|AA1|)，则P点轨迹是以点A为顶点、以AA1为高线、母线长为m的圆锥的底面圆．如图2．

   回到本题．

   正方体有6个面，考察此曲线在各个面的长度，便知整条曲线的长度．

   点A是关键点．

   正方体有3个面即AB1、AC、AD1含有顶点A；另有三个面即BC1、DC1、A1C1不含顶点A．

   先看含有顶点A的面，以面AB1为例．这属于命题1的情形．考虑到1<2√3/3<√2，所以，点A的集合是一段圆弧P1P2，圆弧所在圆是大圆，它以点A为圆心、半径为2√3/3．见图1．

   易知 ∠A1AP1=π/6，⇒∠P1AP2=π/6，

    ∴圆弧P1P2=(2√3/3)(π/6)= π(√3/9)．

   再看不含顶点A的面，以面A1C1为例．这属于命题2的情形．考虑到2√3/3>1，

   在RtA1AP1中，|A1P1|=√[(AP1)^2-(A1A) ^2]= √3/3.

   所以，点A的集合是一段圆弧P6P1，圆弧所在圆是小圆，它以点A1为圆心、半径为√3/3．见图3.

    ∠P1A1P6=π/2，

    ∴圆弧P6P1=(√3/3)(π/2)= π(√3/6)．

   由对称性知，曲线在正方体六个面的集合分别是圆弧P1P2、P2P3、P3P4、P4P5、P5P6、P6P1，且P1P2=P3P4=P5P6，P2P3=P4P5=P6P1．

    ∴整条曲线的长度为3[π(√3/9)+π(√3/6)]= π(5√3/6).

   从这道题可以看出画图的重要性．没有画图时，一头雾水，不知从哪里下手．图画好了，

   同时我们看到，有些立体几何的图还是比较难画的．作为教师要知难而进，遇到困难的问题要多加思考，必要时要虚心求助．本文图3、图4就是成都高仲富老师画的．他用的是“玲珑画板”．一目了然，问题迎刃而解．