2018年高考上海卷第15题点评

大罕

【题目】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱住的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(     ).D

   A4            B8            C12            D16

【点评】

网上刊载有“详解”：符合条件的面有四个，每个面都有4个顶点，所以选D. 这个“详解”，过于简略，顶多提了醒。懂者恒懂，不懂者恒不懂。

真正的详解，应该是这样的：

  含有AA₁的矩形有五个：AA₁B₁B、AA₁C₁C、AA₁D₁D、AA₁E₁E、AA₁F₁F，

  其中，对于矩形AA₁D₁D，没有另外顶点与其顶点的连线垂直于该矩形所在平面，即不能构成阳马(参见右图)，而其余四个矩形分别都能组成4个阳马，

所以共可组成16个阳马。选D。

这道题以棱柱、棱锥为载体，考察学生的理解能力和归类能力。结合古代数学知识，有爱国主义教育的因素。

“阳马”的概念叙述得很清楚：四棱锥，底面是矩形，一侧棱垂直于底面。问题在于正六棱柱指定的侧棱AA₁作为矩形的一边，因而所得的“阳马”，其底面 “竖起”、侧棱“横起”，而非传统型的底面水平、侧棱竖直的姿态。这样的情景，应得益于变式教学的训练。变式教学的成功，就是让学生善于凸现概念的实质、淡化非实质，具有火眼金睛般的辨识本领。