【题目】已知原点为O，椭圆Γ：x^2/4+y^2=1，A是Γ的上顶点，O为Γ除顶点外的一点，M是x轴正半轴上一点，

      ⑴已知P在第一象限，且|OP|=√2，求P的坐标；

      ⑵若P的坐标为(8/5,3/5)，且以A、P、M三点为顶点的三角形为直角三角形，求M的横坐标；

      ⑶已知|MA|=|MP|，向量PQ=4PM，AQ与Γ交于C，且向量AQ=2AC，求直线AQ的方程. 

【解答】

      ⑴设P(x,y)(x>0,y>0)，由x^2/4+y^2=1和由x^2+y^2=2联立，解得P(2√3/3, √6/3).

      ⑵设M(x0,0), A(0,1)，P(8/5,3/5) ,

       若∠P=90°, 则PA·PM=0，即(x0-8/5,-3/5) ·(-8/5,2/5)＝0,

       ∴(-8/5)x0+64/25-6/25=0，解得x0=29/20. 如图1.

       若∠M=90°，则MA·MP=0，即(-x0,1) ·(8/5-x0,3/5)＝0,

      ∴x0^2-(8/5)x0+ 3/5=0，解得x0=1或x0=3/5,

      若∠A=90°，则∴M点在x轴负半轴，不合题意.

       ∴点M的横坐标为29/20,或1,或3/5.

      ⑶设C(2cosα,sinα) ,由AQ=2AC和A(0,1)，知Q(4cosα,2sinα-1)，

      又设P(2cosβ,sinβ) ,M(x0,0)， 

       ∵|MA|=|MP|, ∴(x0)^2+1=(2cosβ-x0)^2+(sinβ)^2,

      整理得：x0=(3/4)cosβ， 

      又PQ=(4cosα-2cosβ,2sinα-sinβ-1),PM=((-5/4)cosβ,-sinβ)得

      由PQ=4PM，可得

      4cosα-2cosβ=-5cosβ ，且2sinα-sinβ-1＝-4sinβ,

      ∴cosβ=(-4/3)cosα，且sinα=(1/3)(1-2sinα)

      以上两式平方相加，整理得

      3(sinα)^2+sinα-2=0,

      ∴sinα=2/3，或sinα=-1(舍去)，

      此时，直线AC的斜率=-(1-sinα)/2cosα=√5/10 (负值已舍去)，如图2.

      ∴直线AQ为y=(√5/10)x+1.

      【评析】

      这是一道佳题。“佳”体现在：①难度有阶梯。三个小问，第1题相当简单，让学生尝点甜头；第2题稍微复杂，还需讨论，也为第3题热身；第3问，多个字母蜂拥而上，计算有一定难度。②基础知识与基本技能，双基融于一题，自然贴切。椭圆参数形式的运用起到了化繁为简的作用。用向量处理线段成比例问题得心应手。

选择突破口往往是成败的关键。本题可以从设C点坐标入手，也可以从设直线AQ的斜率入手。相比之下，前者略胜一筹。

      在“跟踪追击”的过程中，敢于前行既是能力的考验，又是意志力的考验。在复杂情景下变换能力在本题尤为明显。由AQ=2AC、PQ=4PM和|MA|=|MP|得到三个等式（方程），坚定信心，化简到底，至为重要。

      关于本题的几何意义及其理由，如下：

      设C(2cosα,sinα) ,由AQ=2AC和A(0,1)，知Q(4cosα，2sinα-1)，由此说明点Q在椭圆

      C1：x^2/16+(y+1)^2/4=1 上，

      又设P(2cosβ,sinβ) ,M(x0,0)，∵|MA|=|MP|, ∴(x0)^2+1=(2cosβ-x0)^2+(sinβ)^2,，

      整理得：x0=(3/4)cosβ， 即M((3/4)cosβ,0)  

      由PQ=4PM，得4cosα-2cosβ=-5cosβ ，且2sinα-sinβ-1＝-4sinβ,

      ∴4cosα＝－3 cosβ，且2sinα-1＝-3sinβ,

      再由x=4cosα，且y=2sinα-1,知点Q(x,y)在圆C2：x^2+y^2=9上，

      综上，点Q是椭圆C1和圆C2的交点.如图3.