[原创]评析2017上海高考数学第16题
(2017-06-23 16:19:37)
评析2017上海高考数学第16题
大罕
【题目】已知点P在椭圆C1：x^2/36+y^2/4=1上，点Q在椭圆C2：y^2/9+x^2=1上，O为坐标原点，记ω=向量OP·向量OQ，集合{(P,Q)|
ω=向量OP·向量OQ}，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有(
)个.
A
2个
B
4个
C
8个
D无数个
【解答】设P(6cosα,2sinα),
Q(cosβ,3sinβ)，
则ω=向量OP·向量OQ
=6(cosαcosβ+sinαsinβ)=6cos(α-β)≤6
，
当等号当且仅当α-β＝2kπ(k∈Z)时成立，因此(P,Q)有无数个，故选D.
【评析】作为选择题的压轴题，该题的份量显然不足，或者说解决此题的思路比较“窄”——利用椭圆的参数形式，仅此而已。
上海教材里，参数方程占的比重很小，仅限于参、普互化，以及应用于设椭圆上点的坐标为(acosθ,bsinθ)。可是，这一独特的运用，由于它“手段”高明，使得它光彩夺目，因而倍受青睐。所以，考生能想到这一方法实非偶然。
本题也有陷阱。人们常常用的图像法、特值法在本题中有可能恰恰陷于圈套：
如图，ω=向量OA1·向量OB1′=向量OA2·向量OB2′=6·1=6，这就是最大值！有两组，于是选A。须不知“一失足成千古恨”。
如果要问：α-β＝2kπ中的α、β的意义是什么？回答是：α、β是椭圆C1、C2的离心角，离心角是什么?並非椭圆上的点与中心(原点)的连线与长轴正半轴(x轴)所成的角，即角α并非指∠xOP，角β并非指∠xOQ. 余下离题太远，这里不予介绍。但无论如何，(P，Q)有无数多个(组)。
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