一道平面几何题的一题多解
大罕
【题目】正方形ABCD，P是边CD上任一点，以AB为直径的⊙O交PA、PB于点E、F，射线DE、DF交于点M，求证：点M在⊙O上.
【证明一】如图1，连接AC、BD交于点T，则T在圆O上，连接TP、TE、TF，
由A、E、T、B四点共圆知，外角∠PET=∠ABT=45°(内对角)，而∠PDT=45°，
∴D、E、T、P四点共圆，∴∠MET=∠DPT，
同理C、F、T、P四点共圆，∴∠MFT=∠CPT
∴∠MET+∠MFT=∠DPT+∠CPT =180°，∴E、T、F 、M四点共圆，即点M在⊙O上.证毕.
【证明二】如图2，如图，设射线CF交⊙O于点M，连接ME、ED，原题等价于求证：M、E、D三点共线(图中蓝线与红线在一条线上，即证明∠1＝∠6).
延长AF、BE分别交BC、AD于点N、Q，则由E、Q、D、P四点共圆，知∠1＝∠2，同理有∠3＝∠4.
在Rt△ABN与Rt△BCP中，∵AB=BC，且∠BAN=∠CBP，
∴Rt△ABN≌Rt△BCP，从而BN=CP，∴NC=BC-BN=CD-CP=PD.
在Rt△ADP与Rt△ABQ中，∵AD
=AB，且∠ADP=∠ABQ， ∴Rt△ADP ≌Rt△ABQ，从而DP
=AQ，∴PC=CD-DP=AB-AQ=DQ.
∴Rt△NCP≌Rt△PDQ，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=∠5＝∠6，从而获证
【证明三】
如图3，延长AF、BE分别交BC、AD于点N、Q，则由E、Q、D、P四点共圆知∠1＝∠2，同理有∠3＝∠4.
易知
Rt△ABN≌Rt△BCP，∴BN=CP，∴NC=PD，
∴Rt△NCP≌Rt△PDQ，∴∠DPQ+∠CPN＝90°，∴∠5+(∠2+∠3)=
90°，
作MG∥AD，易知∠EMF=∠EMG+∠FMG=∠1+∠4
=∠2+∠3= 90°-∠5，
在Rt△AFP中，∠6=
90°-∠5，即∠EAF= EMF，点M在⊙O上. 证毕
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(2017-04-07 08:20:39)