2016年上海高考理科第18题(压轴题)评析

大罕

    【题目】设f(x), g(x), h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：

      ①若f(x)+ g(x), f(x)+h(x), g(x)+ h(x)均为增函数，则f(x), g(x), h(x)中至少有一个增函数；

      ②若f(x)+ g(x), f(x)+h(x), g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数，则f(x), g(x), h(x)均是以T为周期的函数，

      下列判断正确的是(    ).

      A ①和②均为真命题            B ①和①均为假命题

      C ①为真命题，②为假命题  D ①为假命题，②为真命题

    【解答】①是假命题。我们这样构造反例：如图，

      f(x)由一段水平线段和一条上升射线组成，

      g(x)由一段上升线段、一段水平线段和一条上升射线组成，

      h(x)由一段上升线段和一条水平射线组成，

      这三个函数图像的拐点所在直线如图虚线所示.

      此时， f(x)+ g(x), f(x)+h(x), g(x)+ h(x)均为增函数，但f(x), g(x), h(x)均不是增函数；

        ②是真命题。令F(x)= f(x)+ g(x)，G(x)=f(x)+h(x)，H(x)= g(x)+ h(x) ，这三个函数均是周期为T的函数，

        那么，f(x)= [F(x)+G(x)-H(x)]/2是周期为T的函数，同理g(x), h(x) 也是周期为T的函数.

       综上，选D.

    【评论】本题难点不在于理解题意的困难，不在于“破题”处的难以寻找，也不在于计算的繁杂，而在于对函数的理解与熟悉，尤其是具有丰富的想象力。

      命题①，若局限于f(x), g(x), h(x)是一段函数，则显然为真。若把思路打开，考虑分段函数，这才有“戏”，则可以构造出反例，说明其假。 

       命题②，从宏观入手，找到三个函数的两两之和与其中一个函数有什么关系，这才是解决问题的关键。倘若平时没有接触、没有掌握“均值处理”的整合技巧，而在此处陷入定义的讨论，那肯定是无功而返，剩下就只能瞎碰乱猜了。