欣赏一道高考的好题、趣题
——2016年上海高考理科第11题评析
大罕
  

   【题目】无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则k的最大值为          .  
    【详析】由Sn∈{2,3}知，Sn＝2或Sn＝3，即无穷数列{an}的前n项和是常数2或3，
      首先，确定第1项，它只能是2或3，因为这样才能满足若取n=1，则S1＝2或3. 同时，要满足Sn＝2或Sn＝3，则从第2项起各项均为0. 即数列{an}为：2,0,0,…(或3,0,0, …). 此时数列由k=2个不同的数组成，k值不是最大的；
       其次，要使S1＝2且S2＝3，那么第1项只能是2，第2项只能是1，从第3项起的各项均为0. 即数列{an}为：2,1,0,…. 此时数列由k=3个不同的数组成，k值也不是最大的.
      再次，要使得k值最大，我们只能在第3项以后出现0这一点上作文章. 同时要确保S1和S2不犯规，那么只能a3＝-1，这时数列已由k=3个数组成，再加一把油，a4= a5=…=0，出现了第4个数字，即{an}为：2,1,-1,0,0,…. 此时数列由k=4个不同的数组成，k值应该是够大的.
      最后，k值还可以更大吗？
      若第1项确定为2，以后各项由1,-1反复出现，虽满足Sn∈{2,3}但k不是最大的.
若第1,2,3项确定为2,1,-1，以后各项由m,-m(m>2, m∈N*)反复出现，虽k值更大了，但不满足Sn∈{2,3}.
      综上所述，k的最大值为4.
    【点评】这是一道活题。不动数列的“一兵一卒”（公式），才能且就能解决问题，完全出乎那些机械“授艺者”和“献艺者”的意外。
      这是一道趣题，由于鲜活而趣味盎然。
      这是一道好题，考察的是逻辑推理能力。
      这是一道规范题，不超纲，不越本，异于奥赛题，不需要更多的技巧和知识。
      这是一道带方向指标的题，指导我们在教学中要更加重视培养学生的思维能力。
                                                                              2016-6-23