用塞瓦定理证明吴康的“新定理”及定理辩说

王方汉 

   吴康老师在微信上发表的《关于平面几何一个“新定理”的综述》中提到：“我的学生、吉林大学一年级硕士研究生、原学而思广州分部首席数学教师陈栋提出用塞瓦定理证明，但没有付诸行动。”
   这里我代替陈栋付诸行动。
   众所周知，塞瓦（Ceva）定理是指：
   设O是△ABC 内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于点D、E、F，则(AF/FB)•(BD/DC)•(CE/EA)=1.
   利用Ceva定理证明命题一如同大炮打蚊子。真的不需要兴师动众，把简单问题复杂化。
   命题一：在△ABC中，D是BC的中点，O为线段AD上任一点，BO、CO的延长线分别交AB、AC于E、F，则EF∥BC。
   证明：在△ABC中，由Ceva定理知(AF/FB)•(BD/DC)•(CE/EA)=1.，如图1，由BD=DC，得(AF/FB)•(CE/EA)=1，即AF/FB=EA/CE，所以EF∥BC。
   由命题一极易得到命题二。
   命题二：在△ABC中，D是BC的中点，O为线段AD上任一点，BO、CO的延长线分别交AB、AC于E、F，则点E、F到直线AD等距。
   证明：设EF与AD交于点T，作EG⊥AD于点G，FH⊥AD于点H，如图 2，由命题一知EF∥BC，所以FT=TE，从而Rt△FTH≌Rt△ETG，于是有EG=FH。
   显然，命题二与如下命题是等价的。
   命题三：设D，E，F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的一点，线段AD，BE，CF交于一点O. 若△BOD与△COD面积相等，则△AOF与△AOE、△BOF与△COE的面积分别相等.
   顺便要说的是，命题一、二、三均不应称为定理。
   优美的结果并不是能称之为定理的充分条件（其实也不是必要条件）。
   作为定理，它应有广泛的应用。用处多，为免除屡次的劳苦，故选择“那个”作为定理。在科学研究中，定理也可看作探索路途中的标杆，指引人们的一程又一程。命题一、二、三显然不具备这些优势。
   叫做“辅导员”的网友在《大罕的空间》（QQ空间）里说：“王老师：D是BC中点可得AD也平分EF，即得结论。这哪里算什么定理，1978年全国数学竞赛题见陈传理张同君编《竞赛数学教程》p203习题5.2第4题”，“ceva定理，本节习题就是它的应用”。