[原创]将立方体绕着体对角线旋转一周，得到什么图形？

(2014-09-22 22:46:19)

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分类：教学

将立方体绕着体对角线旋转一周，得到什么图形？

大罕

这个问题在网上盛行已久,据说是公务员考试试题：将一个立方体绕着它的对角线 AC₁旋转一周，会得到下面的哪一种立体图形？

答案：选D.

在网上有不少帖子介绍此题。多为转载，鲜见独立见解的。这里解析如下.

解析：四个选项A,B,C,D中，立体图形的上下两端都是圆锥.

为什么是圆锥呢？事实上，正方体的棱AB、AD、AA₁均与直线AC₁相交且夹角相等(均为arctan√2），因此，棱AB、AD、AA₁绕直线AC1旋转一周就得到一个圆锥(在上端).同理，棱C₁B_1、C₁D_1、CC₁绕直线AC₁旋转一周得到下端的圆锥.(见图1)

关键是中间部分！

从直观上讲，正方体有12条棱，其中6条棱AB、AD、AA₁、C₁B_1、C₁D_1、CC₁旋转一周形成了两端的圆锥，那么中间部分应由剩下的6条棱A₁B_1、B₁C_1、C₁D_1、D₁A_1、BB_1、DD₁旋转一周而形成.

选项A：中间部分是圆柱.要得到圆柱，6条棱A₁B_1、B₁C_1、C₁D_1、D₁A_1、BB_1、DD₁必须与AC₁平行，而它们与AC₁是异面的，故选项A排除；

选项B,C的中间部分为上下两个圆台.要得到圆柱，6条棱A₁B_1、B₁C_1、C₁D_1、D₁A_1、BB_1、DD₁必须与AC₁共面，而它们与AC₁是异面的，故选项B,C排除；

选项A,B,C均被排除，因此只能选D. 参见图2的动画，形象地给出了答案.

选项D中间部分的立体图形称为通风塔形。通风塔形，在数学上称为单叶双曲面.

为什么中间部分只能是通风塔形呢？

下面我们证明：若一条动直线绕定直线旋转（两直线异面且不垂直），则得到的轨迹是单叶双曲面（通风塔形）.

设正方体的棱长1，以对角线AC₁为z轴，正方体中与y轴异面的直线方程可以写出，从而可进行具体的计算，

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