加载中…[原创]数缺形时少直观，形少数时难入微——从初中漫延到高中的二次函数
(2014-07-08 10:01:56)
标签：
教育 |
分类： 代数 |
数缺形时少直观，形少数时难入微
——从初中漫延到高中的二次函数
大罕
初中的函数先只有"字母允许值范围"一说．后来与高中接轨，有“定义域”一说．但定义域都是自然的．二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)中，字母x允许值范围是一切实数，即定义域为R．初三时，曾把圆、四边形、相似三角形结合起来，对二次函数作过综合的探讨，着实闹腾了一番．
一般来说，若二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0) 的定义域为[a,b]，值域为[c,d]，则其图像有如下5种情形．关键是图像（抛物线）的对称轴与给定区间的位置关系：
在高考前夕，有学生问到一个问题，源于上海市浦东新区的高考训练试卷．学生困惑不堪，无从下手．
评析：先考察抛物线f(x)=(x-1)2-1，
由条件a<1
2a=-1，
∴ a＝－1/2.
至此，定义域和值域的下确界已经找到，我们再找上确界.
http://atth.eduu.com/forum/201406/29/094440i7p03648ii3ce7b5.jpg
有两种可能：
一是2b≤f(-1/2)= (-1/2)2-2(-1/2)=5/4，即抛物线呈左高右低状，但此时b=5/8<1，与使条件a<1
二是2b>f(-1/2)= 5/4，即抛物线呈左低右高状（如右图所示）.这时，设点(b,2b)在抛物线上，有
b^2-2b＝2b,
解得b=4，于是2b=8.
至此，全部答案已经得到：a=-1/2,b=4，
即函数f (x)=x^2-2x在[-1/2,4]上的值域为[－1,8].
最后引用华罗庚的一首诗：
数缺形时少直观，
形少数时难入微；
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
原来，问题的解决全仰仗于数形结合
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