几何与代数的有机揉合，收敛与发散的有益尝试
————试评一道中考模拟题
大罕
以下是2012年浦东新区二模压轴题，由于此题巧妙地揉合了平行线、三角形全等、正方形、两圆位置关系以及求函数解析式等代数几何知识，又采用了发散、类比的组题方式，所以能有效地训练学生综合能力，从而赢得师生的好评，成为预备中考的必练之题。现简析如下：
题目：已知正方形的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，
⑴如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
⑵设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
⑶当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系；
⑷当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2．问△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，请说明理由．
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评析：
⑴容易猜想到：EF=BE+DF．其证明既可用“截长法”，也可用“补短法”．解题方法属正统，解题道路颇为宽敞，且为后续小题作了必要的铺垫．
⑵欲求y与x函数关系式，需要把x,y放到一个三角形中，
在Rt△CEF中，EF=x+y，
CF=1-y，EC=1-x，由勾股定理可得
(1-x)2+(1-y)2=
(x-y)2， 整理得y=(1-x)/(1+x)（0＜x＜1）．
学生中出现的问题，一是没想到把利用Rt△CEF，二是整理过程中出错．
⑶考查⊙E与⊙F的位置关系，要结合点E在射线BC上运动情况，
①当E点在线段BC上时，有EF=BE+DF，⊙E与⊙F外切；
那么E点在线段的延长线上时会怎么样呢？这属于发散思维，需要进行类比．
②当点E在BC延长线上时，把BE、DF、EF的长度进行比较，容易猜测EF=BE-DF，以下完成证明：在BC上截取BM=DF，以下通过△ABM≌△ADF和△AMEE≌△AFE即可获证.
⑷欲△EGF与△EFA相似，只须∠EFG=∠EAF=45°．
试卷给出的参考答案是求出此时y与x的函数关系式：y=(x-1)/(x+1)(其中x>1)，再利用EC=FC得到方程解之，得出答案．
实际上这里有一个较为简单的方法：
当∠EAF=45°时AC∥FE，
由⑶可知，∠1＝∠2，而∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴AC=EC，
∴BE=BC+CE=1+√2．
从以上评析可以看出，完成此题需要快速的反应能力和扎实的基本功。
虽然从严格意义上讲，本题并非创新题，只是经对陈题翻旧改新而成的，但从考查和训练的角度讲，这样的改进很有价值。也有人在此题的基础上在提问的角度上又加以改动，摒弃原⑶⑷问改为：四边形ACEF能否成为一个梯形？如果能，求出其面积；如果不能，说明理由.这一改动，就可以拿来给未学圆一章的初二学生来做了。
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(2014-04-21 12:23:26) 
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