初三：圆及相似形四例

大罕
   

     以下4道习题，是学生从初二进入初三之后的具有标杆性的题目。题目不算难，但需要学生善于从诸多条件中找到解题途径，这就上了一个台阶。
      1.已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F、三点，连接OF．
      ⑴求证：△AEP∽△CEA；
      ⑵判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；
      ⑶求BH：HC．
     提示：⑴∠PAB=∠CAP(弦切角等于同弧上的圆周角)；⑵∠CPE=45°,∴∠COF=90°；⑶1∶2.

     2.如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BC相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，求证：
      ⑴CD⊥DF；
      ⑵BC=2CD.
     提示： ⑴取BE中点G,连AG,△ADG∽△FDC；⑵取BC中点H,连FH, △HFC≌△DFC

      3.如图，圆O与AB相切于点B，连接OA，以A为顶点在OA左侧作∠CAO=∠BAO，作CE⊥AB，垂足为点E，与AO交于点F，
      (1)求证：AC与圆O相切.
      (2)若圆O的半径为2，sin∠OAB=1/3,求EF的长.
      提示：(2)∠OCD=∠OAC，求得CE=32/9,CF=2 ，∴EF=14/9.

      4.P为半径是r的⊙O外一点，割线PA,PD分别与⊙O交于B,C，已知∠P=60°，AB=10，BP=8，DC=7，求r2.
      提示：由△PAC∽△PDB，得PC=9，∴BC⊥ AD，∴AD过圆点O，∴AC2=243,AD2=292,r2=73.