2013上海高考题（理）第21题讲评

大罕

    21．（本题满分14分）本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
     已知函数f(x)=2sin(ωx) (其中常数ω>0)；
     ⑴若y=f(x)在[-π/4,2π/3]上单调递增，求ω的取值范围；
     ⑵令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移π/6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像，区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足：y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b－a的最小值.且a
    【解答】
    ⑴ 因为ω>0，根据题意有
    -ωπ/4≥-π/2，且2ωπ/3≤π/2，
    解得0<ω≤3/4
    ⑵ f(x)=2sin(2x)，
     g(x)= 2sin[2(x+π/6)]+1= 2sin(2x+π/3)+1,
     令g(x)＝0，即sin(2 x+π/3)=-1/2，得
     x=kπ-π/4，或x=kπ-7π/12 (k∈Z)，
     在数轴上，g(x)的零点分布如图所示：

     可知g(x)的零点之间的间隔依次为π/3和2π/3，
     要g(x)有[a,b]上至少含有30个零点，那么b-a的最小值为14×2π/3+15×π/3＝43π/3.
    【讲评】

     ⑴第1小题比较简单：考虑f(x)=2sin(ωx)(ω>0)的邻近原点的单调增区间，就有ωx≥-π/2，且ωx≤π/2.现题给区间x∈[-π/4,2π/3]，那么此区间的端点值就应该满足上述不等式组，即有-ωπ/4≥-π/2，且2ωπ/3≤π/2，解得0<ω≤3/4，即为所求.
     ⑵第2小题首先考查平移变换，其实考查基本三角方程，最后考查数数的能力.前两个考查很平凡，属基础知识与技能，第三个考查出乎人们的意料.这里也有过三个小坎：其一要理解“y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点”，这里给定了一个区间[a,b],在这个区间内方程g(x)＝0有30个根；其二理解“b-a”，这里指所给区间的宽度；其三理解“b－a的最小值”，这里指最小宽度.
    要求区间[a,b]的最小宽度，首先要从某1个零点算起到恰好第30个零点结束，否则就不是最小宽度了；其次，要从间隔2π/3的两个零点的左边那个零点算起，直到间隔π/3的两个零点的右边那个零点结束，这样才是最小的宽度.
    例如从零点-5π/4算起，每相隔2π/3的区间贡献1个零点（算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，接着每相隔π/3的区间贡献1个零点（也算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，此时共有28个零点，最后一个相隔π/3的区间贡献2个零点（左边右边都算在内），于是凑齐了30个零点. 
    再计算区间[a,b]的宽度为：14×2π/3+15×π/3＝43π/3.
    当然还可用其它的计数方案，道理是相同的.
    复杂情形下的计数需要较强的能力，往往不是靠死记硬背或套现成公式所能完成的.因此本题的设计，既出乎意外，又在意料之中，值得称道.（完）