2013上海高考题（理）第19题讲评

大罕

    19、（本题满分12分）如图：在长方体ABCD-A＇B＇C＇D＇中，AB=2，AD=1 ,AA＇=1,
    ⑴证明直线BC＇//平面D＇AC；
    ⑵并求直线BC＇到平面D＇AC的距离.

    解：⑴∵四边形ABC＇D＇为平行四边形，∴BC＇∥AD＇，
∴BC∥平面D＇AC；
    ⑵由⑴可知，直线BC＇到平面D＇AC的距离即为点B到平面D＇AC的距离，设为h.
   ∵ V_B-ACD＇=V_D＇-BAC  ，∴ S_△ACD＇×h=S_△ABC×D D＇，
    由AC=√5，C D＇=√5，D＇A=√2 知S_△ACD＇＝3/2，又易知S_△ABC＝1/2，D D＇＝2，
因此有：(3/2)h=1, ∴h＝2/3.

    评：上海高考题的惯例是不在立体几何上设关置卡来为难学生，本次亦如此.证明直线与平面平行，属于最基本的内容，当考无异；求点到平面的距离，直接法是作出点到平面的垂线段，间接法是用等积法.等积法应属基本技能，当考无异.
    从理论上讲，用立体几何题难倒学生，是容易办到的。这与教材内容、学时安排和教学要求不符合。所以，立体几何试题考最常规的、最常用的，这个趋势还要沿袭下去.
    等积法也常常用于求两条异面直线的距离.例如，正方体ABCD—A₁B₁C_<1D₁的棱长为1，⑴求BD₁与CC₁所成角的正切值；⑵求BD₁与CC₁的距离(答：√2,√2/2)．可见，等积法作为基本方法，教学中不可忽视它.