我欲穿花寻路，直入白云深处，浩气展红霓
----一道有趣的数列题
大罕

   【题目】如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻折2006次，点P依次落在P₁，P₂，...，P₂₀₀₆的位置，则P₂₀₀₆的横坐标是            .
  

   【分析】
    弄清楚诸次翻转后的P点各落在什么位置，便可看出其横坐标组成一个什么样的数列.可是，当这个数列展现在我们面前时，又显得那么诡异：1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,….怎么办？“我欲穿花寻路，直入白云深处，浩气展红霓”（黄庭坚词句），要想寻找解题途径，就要改变形式.观察数列，其项数值的增加似乎有某种规律，周期性地增加，因此想到将数列改成数阵（数字列成的矩形模样的阵式），于是“浩气展红霓”了.

   【解答】
    已知点P的横坐标为p₀=－1，现设点p_i（i=1，2，…，2006）点的横坐标的p_i，它们组成无穷数列{p_i}：p₀，p₁，p₂，p₃，…，p_4k-4，p_4k-3，p_4k-2，p_4k-1,…，
    将数列{pi}每隔4项切断，改写成如下数阵D：
    p₀，p₁，p₂，p₃，                        (第1行)
    p₄，p₅，p₆，p₇，                        (第2行)
    p₈，p₉，p₁₀，p₁₁，                      (第3行)
    …….                                   ……
    P_4k-4，p_4k-3，p_4k-2，p_4k-1，               (第k行)
    P_4k，p_4k+1，p_4k+2，p_4k+3，               (第k+1行)
     ……                                    ……
   具体说，就是
    -1，1，2，2                             (第1行)
    3， 5，6，6                             (第2行)
    7，9，10，10                            (第3行)
     ……                                    ……
   数阵D有如下特点：①每一行有四个数；②每一行内：第二个数比第一数多2，第三个数比第二数多1，第四个数与第三数相等；③从第二行起，每一行排头比上一行的排尾多1.
   以下先考察翻转第2000次，点P₂₀₀₀的横坐标p₂₀₀₀位于数阵D的什么位置，
   ∵ 将图中正方形翻转4,8,12,…4k次， p₄，p₈，p₁₂，…, p_4k分别位于数阵的第2,3,4,…,k+1行的排头，
   ∴翻转第2000次，p2000位于第(2000/4)+1=501行的排头. 于是有：
    第501行：p₂₀₀₀，p₂₀₀₁，p₂₀₀₂，p₂₀₀₃，
    第502行：p₂₀₀₄，p₂₀₀₅，p₂₀₀₆，p₂₀₀₇，
   我们再考察数阵D的各行的排尾的数字，它们构成如下数列：
    2，6，10，……，它是以2为首项，公差为4的等差数列，
   ∴第501行的排尾p₂₀₀₃=2+（501-1）x4=2002，
   ∴p₂₀₀₄=2003，

     p₂₀₀₅=2005，

     p₂₀₀₆=2006. 

    故2006即为所求.