三角形中求角的大小，有时也并非易事

大罕

    初一平面几何中，求某一个角的问题，虽然涉及的知识有限，诸如“三角形三内角和为180°”，“三角形外角等于不相邻两内角和”，“等腰三角形两底角相等”，但由于图形较为复杂，因而求起来有时并非易事（当然与学生年龄有关）。以下是在辅导学生中遇到的问题，加以归纳写成短文.
    一、追踪求角
    例1.如图，把Rt△ABC绕着30°角顶点B顺时针旋转，使点A与CB的延长线上的点E重合，则∠BDC=      .
      提示：∠DBC=150°，△DBC是等腰三角形.∠BDC=15°
    例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将此三角形绕点C旋转到△A₁B₁C₁位置，使A₁、B₁、C₁共线，AB交AC于点P，∠A=18°，则∠CPB=        .
      提示：∵∠A₁=∠A=18°， B₁C=BC，∴∠B₁BC=∠B₁=72°，∴∠B₁CB=∠PCA=36°, ∴∠CPB=36°+18°=54°.
     例3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点C旋转到△A₁B₁C₁位置，使B₁点落到AC上，则∠AA₁B₁=        .
       提示：∵∠BAC=40°， AB=AC，∴∠B₁CA₁=70°，∵CA=CA₁，∴∠A₁AC=55°, ∴∠AA₁B₁=70°-55°=15°.
     例4.在△ABC中，BP、CP分别平分∠CBA、∠ACB的外角且交于P点.点E、F在射线AB、AC上，EG、FG分别平分∠FEA、∠AFE的外角且交于G点.若∠G=68°，则∠P=       .
     提示：由三角形的外角为360°和∠G=68°，可推出∠A的外角为112°，据此可推出∠P=68°.

    点评：跟踪求角，就是从一个角出发，推算与之相关的角，锲而不舍，一直到达目标。旋转也好，对折也好，必然有全等三角形，对应边相等，从而可捕捉到等腰三角形。找到了等腰三角形，一般都可以获解。这种思维方式具有“钉子”的精神，越钻越深，是一种优秀的思维品质。

    二、列方程(组)求角
    例5.如图，AA₁、BB₁分别平分∠EAB、∠DBC，AA₁=BB₁＝AB，则∠BAC =      .
     提示：标记如图，∵∠CAF是平角，∴α+2β＝180°…①，在△AA₁B中，β+2θ＝180°… ②，在△ABB₁中， θ＝α+∠ACB=α+ (α+θ/2) … ③，由方程组①②③，解得α=∠BAC =12°. 
    例6.如图，AB=AC=AD，∠DAC =3∠CAB，则∠DBC是∠BDC 的     倍.
    提示：标记如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB＝90°-2x，在△ABC中，∵AB=AC，∴(90°-2x)+α=90°-x/2…①，在△ACD中，∵AC=AD，∴(90°-2x)+β=90°-3x/2…②，由①得2α＝3x，由②得2β=x，∴α＝3β，即∠DBC是∠BDC 的3倍.
    点评：列方程（组）求角，就是设欲求角及相关角为未知量，列出方程（组），通过解方程（组），从而便问题获解.这种思维方式具有创新性，是熟练运用数学工具的一种表现.

    三、造全等求角
    例7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB的平分线与∠ABC外角的平分线交于E点，则∠AEB=      .
     提示：过E分别作CA、CB延长线的垂线，垂足为D、F，则CDFE为正方形.作EH⊥AB于H点. 由△BEF≌△BEH知，△AEH≌△AED，∴所以∠FEB=∠BEH=∠HED=30°,而∠AEH=∠AED=15°,∴∠AEB=30°+15°=45°.
    点评：本题从∠ACB=90°且CE平分∠ACB=出发，想到过E分别作CA、CB延长线的垂线来构造正方形.再从BE平分∠ABF出发，想到作EH⊥AB，来构成全等三角形.其余的事情就好办了。构造全等三角形来计算有关线段或角，这种思维具有灵活性，值得记取.