三角形中求角的大小,有时也并非易事
大罕
初一平面几何中,求某一个角的问题,虽然涉及的知识有限,诸如“三角形三内角和为180°”,“三角形外角等于不相邻两内角和”,“等腰三角形两底角相等”,但由于图形较为复杂,因而求起来有时并非易事(当然与学生年龄有关)。以下是在辅导学生中遇到的问题,加以归纳写成短文.
一、追踪求角
例1.如图,把Rt△ABC绕着30°角顶点B顺时针旋转,使点A与CB的延长线上的点E重合,则∠BDC=
.
提示:∠DBC=150°,△DBC是等腰三角形.∠BDC=15°
例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将此三角形绕点C旋转到△A1B1C1位置,使A1、B1、C1共线,AB交AC于点P,∠A=18°,则∠CPB=
.
提示:∵∠A1=∠A=18°,
B1C=BC,∴∠B1BC=∠B1=72°,∴∠B1CB=∠PCA=36°,
∴∠CPB=36°+18°=54°.
例3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点C旋转到△A1B1C1位置,使B1点落到AC上,则∠AA1B1= .
提示:∵∠BAC=40°, AB=AC,∴∠B1CA1=70°,∵CA=CA1,∴∠A1AC=55°,
∴∠AA1B1=70°-55°=15°.
例4.在△ABC中,BP、CP分别平分∠CBA、∠ACB的外角且交于P点.点E、F在射线AB、AC上,EG、FG分别平分∠FEA、∠AFE的外角且交于G点.若∠G=68°,则∠P=
.
提示:由三角形的外角为360°和∠G=68°,可推出∠A的外角为112°,据此可推出∠P=68°.
点评:跟踪求角,就是从一个角出发,推算与之相关的角,锲而不舍,一直到达目标。旋转也好,对折也好,必然有全等三角形,对应边相等,从而可捕捉到等腰三角形。找到了等腰三角形,一般都可以获解。这种思维方式具有“钉子”的精神,越钻越深,是一种优秀的思维品质。
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二、列方程(组)求角
例5.如图,AA1、BB1分别平分∠EAB、∠DBC,AA1=BB1=AB,则∠BAC
=
.
提示:标记如图,∵∠CAF是平角,∴α+2β=180°…①,在△AA1B中,β+2θ=180°…
②,在△ABB1中,
θ=α+∠ACB=α+ (α+θ/2) … ③,由方程组①②③,解得α=∠BAC
=12°.
例6.如图,AB=AC=AD,∠DAC =3∠CAB,则∠DBC是∠BDC
的 倍.
提示:标记如图,在△ABD中,∠ABD=∠ADB=90°-2x,在△ABC中,∵AB=AC,∴(90°-2x)+α=90°-x/2…①,在△ACD中,∵AC=AD,∴(90°-2x)+β=90°-3x/2…②,由①得2α=3x,由②得2β=x,∴α=3β,即∠DBC是∠BDC
的3倍.
点评:列方程(组)求角,就是设欲求角及相关角为未知量,列出方程(组),通过解方程(组),从而便问题获解.这种思维方式具有创新性,是熟练运用数学工具的一种表现.
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三、造全等求角
例7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠ACB的平分线与∠ABC外角的平分线交于E点,则∠AEB=
.
提示:过E分别作CA、CB延长线的垂线,垂足为D、F,则CDFE为正方形.作EH⊥AB于H点.
由△BEF≌△BEH知,△AEH≌△AED,∴所以∠FEB=∠BEH=∠HED=30°,而∠AEH=∠AED=15°,∴∠AEB=30°+15°=45°.
点评:本题从∠ACB=90°且CE平分∠ACB=出发,想到过E分别作CA、CB延长线的垂线来构造正方形.再从BE平分∠ABF出发,想到作EH⊥AB,来构成全等三角形.其余的事情就好办了。构造全等三角形来计算有关线段或角,这种思维具有灵活性,值得记取.
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