两向量夹角为钝(锐)角的陷阱

大罕

     两向量a⊥b垂直的充要条件是ab=0，一些人受此影响误以为“两向量a,b夹角为钝角的充要条件是ab<0”，“两向量a,b夹角为锐角的充要条件是ab>0”，这就大错特错了。以下错误来自于北京四中网校的答疑栏目：

     已知向量a=(m-2,m+3),向量b=(2m+1,m-2).且a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围.

    解：设a与b的夹角为θ，则ab=|a||b|cosθ,

      因为θ为钝角，所以ab<0,

      即(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0，

      所以3m²-2m-8<0，

      解得{m|-4/3

      事实上，ab<0是两向量a,b夹角为钝角的必要非充分条件，因为当ab＝－1<0时向量a,b所成的角为平角.

      以上例子说明：此种错误并非罕见.

      正确的命题是：

       两向量a,b夹角为钝角的充要条件是ab<0且a,b不反向；

       两向量a,b夹角为锐角的充要条件是ab>0且a,b不同向.

     如何在由ab<0得到的取值范围内剔除使得向量a,b成平角的那些值呢？

     当然有多种方法.笔者认为较好的方法是，先假设a∥b，找到可能值，再加以检验，就可以找到该找（即该剔除）的值.以上题为例，接着这样进行：

     当a∥b时，有 (2m+1) (m+3)－ (m-2)² ＝0，

     所以m²+11m-1＝0，

     解得m=(-11+5√5)/2∈(0,1/2)，或m=(-11-5√5)/2∈(-11.5,-11)（与前述结果明显不符，舍去）.

     检验：当m=(-11+5√5)/2时，向量a=(-3+√5,-1+√5),b=(-4+2√5,-3+√5)，其终点分别在第二、四象限，方向确实相反，故应舍去m=(-11+5√5)/2.

     答：实数m的取值范围为{m|-4/3≠(-11+5√5)/2}.

     以下两题供练习：

     ⑴已知向量a=(2,x),向量a=(3,4),且向量a,向量a的夹角为钝角,则x的取值范围.

     ⑵已知向量a=(－2,1),向量b=(λ,－1),且向量a,向量b的夹角为钝角,则λ的取值范围.