代数式求值的方法与技巧

大罕

 以下问题是提供给七年级奥数学生用的。

【顺路走，整理已知等式，直达目标】

1.已知a+x²=2011①，b+x²=2012②，c+x²=2013③，abc=24,求a/(bc)+ b/(ca)+c/(ab)-1/a-1/b-1/c的值.

解：由①、②得：b=a+1,

由①、③得：c=a+2,

代入abc=24，得：a(a+1)(a+2)=24，

∴a=2,b=3,c=4,

∴c/ab+a/bc+b/ca-1/a-1/b-1/c
=2/3+1/6+3/8-1/2-1/3-1/4
=1/3-1/3+1/8
=1/8

2.已知非零实数a,b,c满足：a²+b²+c²=1，且a(1/b+1/c)+ b(1/c+1/a)+ c(1/a+1/b)=-3, 求a+b+c的值

 分析：由已知等式得：a(1/b+1/c)+ b(1/c+1/a)+ c(1/a+1/b)+3＝0，

∴a(1/b+1/c)+1+b(1/c+1/a)+1+c(1/a+1/b)+1＝0
∴a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c) =0
∴(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =0，

∴a+b+c=0①   或1/a+1/b+1/c=0 ②，

而②即ab+bc+ca=0，此时
(a+b+c)²=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1
∴a+b+c=1或a+b+c=-1
综上，a+b+c=-1,0,1

【瞄准题给目标，把目标字母作为未知数，解方程，代入目标式子】

3.已知a+1/b=1 ①, b+1/c=1 ②, 求c+1/a的值

分析：目标字母是c和1/a，

由①得a =1－1/b＝(b-1)/b,∴1/a=b/ (b-1),

由②得1/c=1－b,∴c=1/(1-b),

∴c+1/a=1/(1-b)+ b/ (b-1)=1.

4.已知1/x+1/(y+z)=1/2①, 1/y+1/(z+x)=1/3②, 1/z+1/( x+ y)=1/4③，求2/x+3/y+4/z的值

分析：目标字母是2/x,3/y,4/z,

对①左边通分得： (x+y+z)/[x(y+z)]=1/2，
   ∴1/x =(y+z)/[2(x+y+z)]
   同理可得：
     1/y=(x+z)/[3(x+y+z)]
     1/z=(x+y)/[4(x+y+z)]
  ∴  2/x+3/y+4/z =(y+z)/(x+y+z)+(x+z)/(x+y+z)+(x+y)/(x+y+z)
   =2(x+y+z)/(x+y+z)=2.

 5.已知1/x+2/y+3/z=0①, 1/x-6/y-5/z=0②， 求z/x+x/y+y/z的值

分析：目标式子中有z/x，x/y，y/z，

①－②，得：8/y + 8/z =0，∴y/z= -1    ③，

①×③＋②，得：x/z=-1             ④，

由③④得：x=y，即x/y=1，
∴x/y+y/z+z/x=1-1-1= -1

6.已知x=by+cz①，y=cz+ax②，z=ax+by③，求a/(1+a)+ b/(1+b)+ c/(1+c)的值

分析：目标式子中有(1+a)、(1+b)、(1+c)，

为得到这些式子，注意到①即x=by+cz，

再由②得ax=y-cz，

两式相加得：(a+1)x=(b+1)y
同理可有：(c+1)z=(b+1)y，(a+1)x=(c+1)z
原式=ax/[(b+1)y] + by/[(b+1)y]+cz/[(b+1)y]
    =(ax+by+cz)/[(b+1)y]=(y-cz+by+cz)/[(b+1)y]=1.

【利用公式x³+y³＝(x+y)(x²-xy+y²), x³+y³+z³-3xyz＝(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx),对条件等式或目标式子进行变形】

7.已知x+y=3, 4x²+4y³-xy=4, 求x⁴+y⁴+x³y+xy³的值

解:x⁴+y⁴+x³y+xy³=x(x3+y3)+y((x3+y3)=(x+y)(x3+y3)

  =3(x3+y3)=3(x+y)(x2+y2-xy)
  =3×3×4=36

8.若x<0，且x-1/x=3，求(x¹⁰+x⁶+x⁴+1)/(x¹⁰+x⁸+x²+1)的值

分析：由x-1/x=3可得(x-1/x)²=9，即x²+1/x²=11，再平方可得x⁴+1/x⁴=119.

  对所求式子上下同除以x⁵，得
  (x¹⁰+x⁶+x⁴+1)/(x¹⁰+x⁸+x²+1)=(x⁵+x³+1/x³+1/x⁵)/(x⁵+x⁴x4+1/x⁴+1/x⁵)

  =(x+1/x)(x⁴+1/x⁴)/(x²+1/x²)(x³+1/x³)=(x4+1/x4)/(x²+1/x²)(x²-1+1/x²)
  =119/110

【比例式可化为固定式，然后向预定目标挺进】

9.已知p+q+r=9，p/(x²-yz)= q/(y²-zx)=r/(z²-xy)，求(px+qy+rz)/(x+y+z)的值

分析：令p/(x²-yz)= q/(y²-zx)=r/(z²-xy)＝k，则

p=k(x²-yz)，q=k(y²-xz)，r=k(z²-xy) ,

∴ p+q+r =k(x²+y²+z²-xy -yz-zx)，

再把p=k(x²-yz)，q=k(y²-xz)，r=k(z²-xy) ,代入，可得
(px+qy+rz)/(x+y+z)=k(x3+y3+z3-3xyz)/(x+y+z)

=k(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz-yz)/(x+y+z)
=k(x2+y2+z2-xy-xz-yz)

=p+q+r=9

【把条件等式视为方程，当方程个数少于未知数个数时，先用配方法尝试，利用非负数之和为零的性质】

10.已知a=8-b①, c²=ab-16②, 求a,b,c的值.

分析：已知等式有2个，目标字母有3个，

把①代入，得：c²=ab-16=(8-b)b-16＝-b²+8b-16=-(b-4)²

∴c²+(b-4)²＝0，∴b=4,c=0，∴a=8-b=8-4=4

11.已知y=x⁴-4x³+8x²-8x+5,其中x为任意实数，求y的取值范围

分析：已知等式有1个，目标字母有2个，对等式右边配方：

y=x⁴-4x³+8x²-8x+5=(x²-2x+2)²+1＝[(x-1)²+1]²+1 ≥2(当x=1时取“=”号).
【若条件方程个数少于未知数个数时，要紧扣条件，把相关值逼出来】

12.已知x³-y³-z³=3xyz, x²=2(y+z), 求xy+yz+zx的值.

分析：∵x，y，z是正整数，∴x³-y³-z³=3xyz＞0
∴x³＞y³，且x³＞z^3，，即x＞y且x＞z,
于是有，x²=2(y+z)＜2(x+x)=4x，
∴ x＜4
又由x²=2(y+z)可知x是偶数，
∴x=2.
又∵x＞y，x＞z，且均为正整数
∴只有y=z=1.
代入两方程检验可知均成立，可知x=2，y=1，z=1就是唯一符合要求的正整数.
故有，xy+yz+zx=2×1+1×1+1×2=5

【比较大小的方法很灵活，有时先研究一般情形，具体问题便迎刃而解】

13.已知x²+y²=1,比较x³+y³与1的大小.

  分析：先证明(x²+y²)³>(x³+y³)²，