扑朔迷离的“恰好相交”
大罕
有一道七年级的奥数题如下：
题目：平面上有n条直线,每条恰好与其它n-1条直线中的2009条相交,求n的可能值.
分析：一眼看去，这个n肯定比2009大。可是，n条直线的每一条与其它n-1条直线中的2009条恰好相交，这就让人扑朔迷离了。如果n=2010，2010条直线互不平行，显然符合题意。倘若n>2010，则可以这样解释，即n条直线中有部分直线是相互平行的。难点就在于此！《奥数教程•能力测试》p125上有其解答，抄录如下：“将这n条直线分为若干类，同一类直线互相平行，不同类直线互不平行。已知每条直线与2009条直线相交，所以这条直线所在类的直线共有（n-2009）条（包括这条直线在内），这结论对于每一类同样正确，所以，n应被n-2009整除，所得的商就是所分的类数”。这一段论述过于抽象，难以理解，甚至可以说无法理解。为此，我们在这里给出一个便于理解的表述方法，如下。
解答：n条直线可分为k组，每组内有aj(j=1,2,…,k)条直线，同一组内任意两条直线平行，不同组的直线相交，那么
a1＋a2＋…＋ak＝n，
对于任何一个j，aj中的任何一条直线l，与l相交的直线有
a1＋a2＋…＋ ak - aj=2009，也就是n－aj=2009,
将j取遍1,2,3,…,k，可得
n－a1=2009,
n－a2=2009,
………
n－ak=2009,
将以上等式相加得：
nk-(a1＋a2＋…＋ak)=2009k
即nk-n=2009k,
亦即n=(n-2009)k，这说明n-2009是n的约数，而
2009＝n-(n-2009),
这说明n-2009也是2009的约数，而
2009=1×7×7×41，其约数为：1,7,41,49,287,2009，
所以n-2009的可取值是：1,7,41,49,287,2009，
所以n的可取值是2010，2016，2050，2058，2298，4018.
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