从方程变形的几何意义分析产生增（减）根的原因

大罕（发表于1982年第4期《中学数学》）

    研究方程产生增（减）根的问题，无非包括两个方面：一是分析增（减）根的原因；二是如何验根，把增根剔除（遗根找回）。这两个方面，前者好比病因，后者好比治疗，对症方能下药。因此研究方程增（减）根的原因显得极为重要。

    在本文中，我试图对中学数学范围内各类方程产生增根的原因，从方程变形的几何意义的角度，作一次较为全面的分析，从而纠正一种流行的片面理解：方程产生增根的原因只是定义域扩大了；并且归纳出关于方程增根原因的统一的提法。至于减根情形，类比一下即可，不拟赘述。

一、方程同解变形的几何意义

    通常所谓方程f(x)=0的根，是指能使方程成立的未知数x(在方程的允许值集*内)的值。用现代数学的观点看，方程f(x)=0的根实质是映射f(x)的零点，即象为0的一切原象。当然，中学数学范围内f(x)是指初等函数，其定义域是数集。

    当方程f(x)=0有实数根x₀时，通常其几何意义是：曲线y=f(x)与x轴有交点(x₀,0)。从几何意义看，方程f(x)=0的变形，可以解释为：将曲线y=f(x)进行一系列的变换，得到新的曲线。这样，观察变换前后曲线与x轴的交点有无变化，便能明暸方程的变形是否同解。

    方程的同解变形有如下两种情形：

    1.如果y=f(x) <=> y′=g(x)，那么曲线对于xoy坐标系的相对位置没有发生变化，例如：

     y=f(x) <=> cy=cf(x)  (c为非零常数)，

     y=f(x) <=> y+φ(x)=f(x) +φ(x) (φ(x)为整式)，

    这时曲线与x轴的交点不会改变，这就是中学教材中的关于方程同解变形的两个定理。

    2.如果方程f(x)=0的左边分解为f₁(x) f₂(x)，那么f(x)=0 <=> f₁(x)＝0∨ f₂(x)＝0.这时尽管曲线{(x,y)| f(x)=0}与曲线{(x,y)| f₁(x)=0}∪{(x,y)| f₂(x)=0}的形状完全不同，但它们与x轴的交点没有变化，这种变形无疑也是同解变形。

    例如解方程f(x)=2x³-3x²-3x+2=0,方程的变形过程可以图示如下：

二、关于方程产生增根的几个例子

    下面有几个方程，我们从方程变形的几何意义角度，分别分析其增根产生的原因。（未完待续）