数缺形时少直观，形少数时难入微

——从初中漫延到高中的二次函数

大罕

　　初中教材的函数只有字母允许值范围一说.　二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)中，字母x允许值范围是一切实数，即定义域为R．可是，进入高中后，函数的定义域有时是给定的，学生非常不习惯，于是带来了不小的麻烦．

　　一般来说，若二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0) 的定义域为[a,b]，值域为[c,d]，则其图像有如下5种情形．其中的关键是图像（抛物线）的对称轴与给定区间的位置关系：

　　最近有学生问到一个问题，源自于上海市浦东新区的高考训练试卷，时间是2012年5月底，即2012年高考前夕．此题涉及到给定区间的二次函数的定义域与值域问题，学生困惑不堪，无从下手．此问题具有一定的代表性，探究如下．

　　题目：确定a,b，使a<1f (x)=x²-2x在[a,b]上的值域为[2a,2b].

　　评析：先考察抛物线f(x)=(x-1)²-1，

      对称轴方程：x=1,

      给定区间：[a,b].

　　由条件a<1

　　　2a=-1，

　　∴ a＝－1/2.

　　至此，定义域和值域的下确界已经找到，我们再找上确界.

　　有两种可能：

　　一是2b≤f(-1/2)= (-1/2)²-2(-1/2)=5/4，即抛物线呈左高右低状，但此时b=5/8<1，与使条件a<1

　　二是2b>f(-1/2)= 5/4，即抛物线呈左低右高状（如右图所示）.这时，设点(b,2b)在抛物线上，有

　　　b²-2b＝2b,

　　解得b=4，于是2b=8.

　　至此，全部答案已经得到：a=-1/2,b=4，

　　即函数f (x)=x²-2x在[-1/2,4]上的值域为[－1,8].

　　最后引用华罗庚的一首诗：

　　　数缺形时少直观，

　　　形少数时难入微；

　　　数形结合百般好，

　　　隔离分家万事休。

　　原来，问题的解决全杖于数形结合！