扇形的内接矩形问题

大罕

    有一常见的数学问题，既传统又经典，对引导学生运用三角知识解决函数最值问题很有帮助，值得我们足够注意.发到这里，一是资料自我留存，二是提醒各位同仁.

    问题：扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为1，它按如下⑴⑵两种方式有内接矩形CDEF[注]，试研究⑴⑵两种方式下矩形面积的最大值，并问两种方式下矩形面积最大值中哪一种更大？（如图⑴⑵）

    注：图⑴中，矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上；图⑵中，点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB,OA上.   

    方式⑴的评析：顶点E在圆弧AB上运动，可设边长DE=x,这时长度x为自变量，得到的函数是一般的函数（相对三角函数而言）；也可设∠EOB＝θ，这时角度θ为自变量，得到的函数是三角函数.相比之下，三角函数因可利用三角公式变形而显得较为方便，所以建议采用后者.
    设∠EOB＝θ，则ED＝sinθ(参见图1)，

    又CD＝OD-OC=cosθ-CFcot60°=cosθ-(1/√3)ED=cosθ-(1/√3)sinθ，

设∠EAD＝θ，则ED＝sinθ，

    又CD＝OD-OC=cosθ-CFcot60°=cosθ-(1/√3)ED=cosθ-(1/√3)sinθ，

    ∴S_CDEF= sinθ[cosθ-(1/√3)sinθ]=(√3/3)sin(2θ+30°)-√3/6,

    当且仅当θ＝30°时，S_CDEF取得最大值√3/6.

    方式⑵的评析：顶点E、D在圆弧AB上运动用关于直线OE对称，令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，我们选择设∠EOM＝θ比较好，因为此时的三角形EON中EN是矩形的边ED的一半. (参见图2). 
    设∠EOM＝θ，则EM＝sinθ，于是ED=2sinθ，

    又CD＝=PN=ON-OP=cosθ-FPcot30°=cosθ-√3sinθ，

    ∴S_CDEF= 2sinθ[cosθ-√3sinθ]=2sin(2θ+60°)-√3,
    当且仅当θ＝15°时，S_CDEF取得最大值2-√3.

    方式⑴与方式⑵最大值的比较：√3/6>2-√3，所以方式⑴的最大值更大.

小白杨