一道经典的平几题及多种解法

大罕

    有一道经典的平面几何题，从初中到高中，可用多种方法解决它。建议教师收藏此题。

    题目：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．

    证法1（平几法）：如图2，过C作CM⊥AB于点M，与AD交于点N．

    先证明△AMN≌△CAE，

    从而MN=ME，

    所以CN=CM-MN=BM-EM=BE，

    所以△CND≌△BED，

    于是∠CDA＝∠EDB.

    证法2（平几法）：如图3，过B作BF⊥BC，交CE的延长线于点F．

    先证明△ACD≌△CBF，

    从而CD=BF，

    由CD=DB知，DB=BF

    所以△BDE≌△BED，

    于是∠CDA＝∠BFE.

    证法3（向量法）：如图4，建立直角坐标系，设|AB|＝2，则

     A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，

    易计算得：D(3/2,1/2)，E(4/3,0)，

    于是，向量DC=(-1/2,1/2)，DA=(-3/2,-1/2)，DE=(-1/6,-1/2)，DB=(1/2,-1/2)，

    计算夹角的余弦，有cos<DE,DA>=1/√5，cos<DB,DE>=1/√5，

    所以∠CDA＝∠BFE.

    希望有人提出其它的平几方法.另外还有复数法，解析法.不赘述.