向量法与解析法综合一例

大罕

    向量作为一种数学工具，它用代数的方法处理几何问题，简便快捷.尤其是引入坐标系后，向量法与解析法联袂演绎，相辅相成，相得益彰，如虎添翼,行若流水.

    下面是一道求最值问题. 向量语境，绝对诱惑.
    题目：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若向量OC=xOA+yOB，其中x,y∈R，求x+y的最大值.

    评析：点C在圆弧AOB上滑动，极易联想设∠AOC=θ，可是，当考虑到目标是求x+y的最大值，而x,y为斜坐标系AOB下点C的坐标，与θ虽有关但关系不直接，既如此，何不如建立直角坐标系（斜坐标系超出中学范围了），利用向量的坐标运算它！

    如图，建立直角坐标系，则A(1,0)，B(-1/2, √3/2)，圆弧AOB的方程为x²+y²=1 (-1/2≤x≤1.，0≤y≤1)，

    设C点坐标为(a,b)，则有

    向量OC=xOA+yOB=x(1,0)+y(-1/2, √3/2)

          =(x-(1/2)y , (√3/2)y)

         = (a,b)

   ∴a= x-(1/2)y , b=(√3/2)y ,

   ∵点C(a,b)在圆弧AOB上，

   ∴(x-y/2)²+(√3y/2)²=1,

   即  x²+y²－xy, =1，

   ∴(x+y)²－3xy =1,

   为了求x+y的最大值，需用基本不等式：xy≤(x+y)²/4,于是有

    1= (x+y)²－3xy ≥(x+y)²－3(x+y)²/4＝(x+y)²/4，

   ∴ (x+y)²≤4，

   由于点C在圆弧AOB上运动，所以x+y>0，因此就有

     0<x+y≤2，

   即x+y的最大值为2.

 花间蝶