双向推进见睿智 巧设妙算展身手

——一道涉及递推数列的应用陈题

大罕

    有一道数列应用题，学生拿到手上颇感棘手.此题没有告诉全市土地面积，只提供了绿地占有率和绿地增长率；绿地增长的同时又部分被侵蚀.详见如下：

    某市位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行艰苦的斗争,到2005年底全市的绿地面积已占全市总面积的30％，2006年初起,市政府决定加大植树造林开辟绿地的力度，则每年底有16％的原沙漠地带变成绿地,但同时,原绿地面积的4％又被侵蚀而变成沙漠，

    ⑴全市绿地面积能否超过总面积的80％?

    ⑵至少在哪一年底,该市的绿地面积才能超过全市总面积的60％?

    评析：

    ⑴ 全市面积未知，但不可少，必须设之，那么设其为1，

    那么由题知，2005年底该市绿地面积为30%，由于本题是以年为考核单位的，故设为a₀，且a₀＝30%，

    则2006年，2007年，…的绿地面积依次为a₁, a₂….

    以下进入分析和推算：

    每一年的绿地面积实际上由两部分组成：在上一年基础上新增绿地面积和在上一年基础上虽被侵蚀但仍保留的绿地面积，

    即绿地面积＝新增绿地面积①+保留的绿地面积②，

    ①后一年的绿地面积a_n+1，则前一年的绿地面积为a_n，那么的沙漠面积为1－a_n，而沙漠面积的16%变为后一年新增的绿地面积，即后一年新增的绿地面积为(1－a_n)16%.（是不是有点绕啊？）

    ②前一年有4％的绿地被侵蚀变为沙漠，那么前一年有(1-4%)的原绿地仍保留为绿地，即后一年仍保留的绿地为(1-4%)a_n，

    这样一来，后一年的绿地面积

     a_n+1＝(1－a_n)16%+(1-4%)a_n，

    将以上式子化简为

     a_n+1＝(4/5)a_n+4/25，

    这是一个二阶等差数列，结合a₀＝0.3可推出：

     a_n＝4/5－(1/2)(4/5)ⁿ<4/5，

    所以全市绿地面积不能超过总面积的80％.

    ⑵有了第⑴的结果，求出至少在哪一年底的绿地面积能超过全市总面积的60％，就如探囊取物了：

    数列a_n＝4/5－(1/2)(4/5)ⁿ是递增的，经计算a₄＝0.5952，a₅>0.6，所以从2005年底算起，5年后即2010年底起，全市的绿地面积能超过总面积的60％.

    双向推进见睿智，巧设妙算展身手.纵观解题过程，绿地面积的测算要在新增和留存两个方向上同时考虑，在具体计算前要设全市面积为1，以显示绿地面积及沙漠面积.得到递推式后按常规进行，步步为营，直达胜利.

（别太晚回家 黄灿）