把参数安插到适当地方，从容求出参数范围

大罕

    解析几何中求参数范围是令学生头疼的问题。本文要说明的是，将参数安插到适当地方（方程或不等式），是我们首先要追逐的目标，只有这样，利用相关的工具（其实应该表述为知识，例如韦达定理，不过，这里把知识用作工具解决问题），就能从容地求出范围，解决问题。

    例1.过椭圆x²/m+y²/(m-1)=1(2≤m≤5)的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆及直线x=±m的交点从左至右依次为A、B、C、D，记f (m)=||AB|-|CD||，求f (m)的取值范围.    

    解：由题意，l：y=x+1，A(-m,-m+1，D(m,m+1) ，设B(x₁,y₁)，C (x₂,y₂)  (-m<x₁<x₂<m)，
    则由直线l与椭圆的方程联立，消去y可得：(2m-1)x²+2mx-m²+2m=0，

又∵|AB|＝(√2)| x₁+m |，|CD|＝(√2)| m－x₂|，

∴f (m)=||AB|-|CD||＝(√2)| x₁+x₂|

＝2(√2)m/(2m-1)= 2(√2)m/[1+1/(2m-1)]

注意到2≤m≤5，所以

f (m)∈[10√2/9，4√2/3].

    例2．若抛物线y=ax²-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围.

    解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x₀，y₀），设直线PQ的方程为y=x+b，

    由方程组 y=x+b，y=ax²-1消去y，得方程ax²-x-（1+b）=0．①

    由于P、Q两点存在，所以判别式△=1+4a（1+b）＞0．    ②

    由①得x₀= (x₁+x₂)/2= 1/2a，y₀=x₀+b= 1/2a+b．

    ∵M∈l，∴0=x₀+y₀= 1/2a+ 1/2a+b，

    即b=- 1/2a，代入②解得a＞3/4．

    例3．设双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的右顶点为A，P是双曲线上的一个动点（异于顶点）.从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点，

   ⑴证明无论P点在什么位置，总有|OP|²=|OQ||OR|（O为坐标原点）；

   ⑵设T=|AP|²/|AQ||AR|，求T的取值范围.

未完待续！