经过0，在中间；经过∞，在两边

——求直线斜率范围的口诀

大罕

    过定点的动直线，与定线段总相交，求动直线的斜率的取值范围.这样的问题一般通过画图来解决。借助几何图形，判断直线斜率的取值范围，是解析几何教学中的一个难点.我在教学中是这样处理的，叙述如下.

    首先我们看两个有趣的现象：

    如图1，设 P为定点，直线l₁过点P且斜率为负值，直线l₀过点P且斜率为0，直线l₂过点P且斜率为正值.如果直线l从l₁位置绕着点P按逆时针方向经过l₀位置，再继续旋转到达l₂位置时，直线l的斜率由负值变为0，再变为正值；

    如图2，设 P为定点，直线l₁过点P且斜率为正值，直线l₀过点P且斜率不存在，此时记斜率为+∞（或－∞），直线l₂过点P且斜率为负值.如果直线l从l₁位置绕着点P按逆时针方向经过l₀位置，再继续旋转到达l₂位置时，直线l的斜率由正值变为+∞且其绝对值越来越大，然后再从－∞变为负值且其绝对值越来越小.

    这两个现象在求直线斜率范围时起着关键的作用，以上我们已作仔细的研究.

    其次，求直线斜率的范围有三个类型，我们逐一加以考查：

    第一个类型：直线l旋转时经过水平直线l₀.

    例1.已知线段AB的端点A(2,-1)，B(1,6)，直线l经过点P(-2,3) 且与线段AB相交，则l的斜率的取值范围是                   ．（图3）

    分析：直线PA和PB分别是满足题意所有直线的边界直线，k_PA= -1，k_PB=1，其它直线位于PA和PB之间（包括k=0的直线），所以l的斜率的取值范围是(－1，1) ．

   小结：直线l（本题中的PA）旋转过程中经过斜率为0的直线，则直线l的斜率取值在边界直线斜率之间，简称为“经过0，在中间”．

    第二个类型：直线l旋转时经过铅直直线l₀.
    例2.已知线段AB的端点A(-3,-3)，B(2,-1)，直线l经过点P(-2,3) 且与线段AB相交，则l的斜率的取值范围是                   ．（图4）

    分析：直线PA和PB分别是满足题意所有直线的边界直线，k_PA=6，k_PB= -1，其它直线位于PA和PB之间（包括k=∞的直线），所以l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪(6,+∞)  ．

   小结：直线l（本题中的PA）旋转过程中经过斜率为∞的直线，则直线l的斜率取值在边界直线斜率的两边，简称为“经过∞，在两边”．

    第三个类型：直线l旋转时既经过水平直线l₀，又经过铅直直线l₀′.
    例3.已知线段AB的端点A(-4,-2)，B(1,6)，直线l经过点P(-2,3) 且与线段AB相交，则l的斜率的取值范围是                   ．（图5）

    分析：直线PA和PB分别是满足题意所有直线的边界直线，k_PA=5/2，k_PB=1，其它直线位于PA和PB之间（包括k=∞的直线），所以l的斜率的取值范围是(-∞,1)∪(5/2,+∞)．

    小结：直线l（本题中的PA）旋转过程中既经过斜率为0的直线，又经过斜率为∞的直线，则直线l的斜率取值在边界直线斜率的两边，简称为“经过∞，在两边”．