寻求战机，奋力一搏！

——向量与直线方程综合题一例

大罕

    解题有时如同拳击，挪动步伐，收拢双拳，是为了寻求战机，奋力一搏，击倒对方.下面一道向量综合题，把直线牵扯进来，使得某夹角为锐角，求的却是点的横坐标为给定范围时指定的两个点是否存在.怪哉，显然是精心策划的问题！

    问题：已知P(x，y)，A(－1，0)，向量PA与 a=(1，1)共线，

    ⑴求y关于x的函数关系式；

    ⑵在直线y=2x和直线y=3x上是否分别存在一点B、C，使得当∠BPC为锐角时x的取值范围是集合{x| x<-√7或x>√7}？若存在，求出这样的B、C的坐标；若不存在，说明理由.   

    分析：⑴易知y=x+1；

    ⑵令人棘手的是:这里有三个点P,B,C，看来，要实现目标势必要设出这三个点的坐标，好在这三点分别在已知直线上，所以设坐标可以偷一点懒:设P(x,x+1),B(b,2b) ,C(c,3c) ,

     ∵∠BPC为锐角，

     ∴向量PB与向量PC的数量积为正数，

     ∴ (b-x,2b-x-1)(c-x,3c-x-1)>0,

     ∴ (b-x)(c-x)+(2b-x-1)(3c-x-1)>0,

     即x²-2(2b+2c-1)x+(7bc-2b-3c+1)>0，               (※)

     这时战机来了，条件“x取值集合为{x| x<-√7或x>√7}”就该派上用场了,就该奋力一搏了！

     这就是说：不等式(※)的解集为{x| x<-√7或x>√7}，即方程

       x²-2(2b+2c-1)x+(7bc-2b-3c+1)＝0

的两根x₁＝-√7, x₂=√7,

     于是可得关于b,c的方程组

      2b+2c-1=0,且

      7bc-2b-3c+1=－7

     解这个方程组可得到

      B(-1,-3),C(2,4);或B(-9/7,-18/7),C(41/28,123/28).